[论文解读] The power of local search for clustering.

Vincent Cohen-Addad, Philip N. Klein+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2016

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 26被引用 7

一句话总结

本文首次为边权平面图和有界维数欧氏空间中的均匀设施位置、k-中位数、k-均值以及最短路径距离的p次幂聚类问题提出了多项式时间近似方案（PTAS），采用了一种局部搜索算法，通过移除和添加 O(1/ε^O(1)) 个中心来修改解。该方法在主要图类和几何设置下，为这些 NP-难聚类问题实现了最优近似保证。

ABSTRACT

We give the first polynomial-time approximation schemes (PTASs) for the following problems: (1) uniform facility location in edge-weighted planar graphs; (2) $k$-median and $k$-means in edge-weighted planar graphs; (3) $k$-means in Euclidean spaces of bounded dimension. Our first and second results extend to minor-closed families of graphs. All our results extend to cost functions that are the $p$-th power of the shortest-path distance. The algorithm is local search where the local neighborhood of a solution $S$ consists of all solutions obtained from $S$ by removing and adding $1/\epsilon^{O(1)}$ centers.

研究动机与目标

• 在受限几何和基于图的设置中，为基本聚类问题开发多项式时间近似方案（PTAS）。
• 将近似保证扩展至包含平面图在内的图族的最小闭包家族。
• 处理度量空间中作为最短路径距离p次幂定义的成本函数。
• 确立局部搜索作为在结构约束下实现PTAS的可行且强大的框架。
• 统一并推广先前在受限图和几何领域中关于k-中位数、k-均值和设施位置的近似结果。

提出的方法

• 该算法采用局部搜索，其中解 S 的邻域由通过移除和添加 O(1/ε^O(1)) 个中心可获得的所有解组成。
• 局部搜索过程迭代地在该邻域内改进解，直至达到局部最优。
• 该方法应用于边权平面图和最小闭包图族，确保多项式时间复杂度。
• 其扩展适用于有界维数的欧氏空间，尤其适用于具有p次幂距离成本的k-中位数和k-均值问题。
• 分析证明，局部最优解是全局最优解的 (1+ε)-近似，从而建立了PTAS。
• 该方法依赖于平面图和有界维数欧氏空间的结构特性，以限制达到近似所需的中心交换次数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在边权平面图中，通过局部搜索算法实现均匀设施位置问题的PTAS？
• RQ2 在平面图中，使用 O(1/ε^O(1)) 个中心交换的局部搜索是否能为k-中位数和k-均值问题提供PTAS？
• RQ3 局部搜索框架能否扩展至图族的最小闭包家族以解决聚类问题？
• RQ4 能否在有界维数的欧氏空间中，通过局部搜索实现k-均值问题的PTAS？
• RQ5 p次幂距离成本函数如何影响聚类问题中局部搜索算法的设计与分析？

主要发现

• 本文首次通过使用 O(1/ε^O(1)) 个中心交换的局部搜索方法，为边权平面图中的均匀设施位置问题建立了PTAS。
• 在边权平面图中，k-中位数和k-均值问题也实现了PTAS，并可扩展至最小闭包图族。
• 该方法可推广至有界维数欧氏空间中的k-均值问题，同时保持多项式时间复杂度。
• 该算法对所有问题均实现了 (1+ε)-近似，且运行时间在输入规模和 1/ε 上均为多项式时间。
• 局部搜索的邻域由移除和添加 O(1/ε^O(1)) 个中心定义，这确保了近似质量与效率。
• 该框架适用于最短路径距离的p次幂作为成本函数的情况，从而拓宽了其在各类聚类目标中的适用性。