[论文解读] The Power of Vertex Sparsifiers in Dynamic Graph Algorithms

Gramoz Goranci, Monika Henzinger+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 6

一句话总结

本文提出了一种新颖的算法框架，利用顶点压缩和无小图图的结构特性，设计高效的全动态图算法。该框架在平面图和无小图图中实现了 $(1+\varepsilon)$-近似电流动能的 $\tilde{O}(n^{2/3}\varepsilon^{-2})$ 最坏情况更新与查询时间，这是首次在这些问题上实现子线性界动态算法的突破。

ABSTRACT

We introduce a new algorithmic framework for designing dynamic graph algorithms in minor-free graphs, by exploiting the structure of such graphs and a tool called vertex sparsification, which is a way to compress large graphs into small ones that well preserve relevant properties among a subset of vertices and has previously mainly been used in the design of approximation algorithms. Using this framework, we obtain a Monte Carlo randomized fully dynamic algorithm for $(1+\varepsilon)$-approximating the energy of electrical flows in $n$-vertex planar graphs with $ ilde{O}(r\varepsilon^{-2})$ worst-case update time and $ ilde{O}((r+\frac{n}{\sqrt{r}})\varepsilon^{-2})$ worst-case query time, for any $r$ larger than some constant. For $r=n^{2/3}$, this gives $ ilde{O}(n^{2/3}\varepsilon^{-2})$ update time and $ ilde{O}(n^{2/3}\varepsilon^{-2})$ query time. We also extend this algorithm to work for minor-free graphs with similar approximation and running time guarantees. Furthermore, we illustrate our framework on the all-pairs max flow and shortest path problems by giving corresponding dynamic algorithms in minor-free graphs with both sublinear update and query times. To the best of our knowledge, our results are the first to systematically establish such a connection between dynamic graph algorithms and vertex sparsification. We also present both upper bound and lower bound for maintaining the energy of electrical flows in the incremental subgraph model, where updates consist of only vertex activations, which might be of independent interest.

研究动机与目标

• 开发一个在无小图图中设计高效动态图算法的一般性框架，该类图推广了平面图。
• 建立顶点压缩（此前主要应用于近似算法）与动态图算法之间的系统性联系。
• 为无小图图中的电流动能近似、全源最大流和全源最短路径问题提供首个全动态算法，且更新与查询时间均达到子线性界。
• 将顶点压缩的应用扩展至动态设置，尤其适用于有界扩张和小分隔符的图。

提出的方法

• 该框架使用 $r$-划分将图划分为 $O(n/r)$ 个区域，每个区域包含 $O(r)$ 个顶点和 $O(\sqrt{r})$ 个边界顶点，利用无小图图已知的分隔定理。
• 对每个区域，通过距离压缩过程构建顶点压缩器，以保持边界顶点之间两两距离的 $(2q-1)$ 倍近似。
• 数据结构每隔 $\Theta(n/r)$ 次操作周期性重建，采用全局重建技术以确保最坏情况下的更新时间保证。
• 边的插入与删除会触发受影响区域的压缩器局部重新计算，摊销成本受 $\tilde{O}(n^{\xi}r + r^{3/2} + b^2)$ 限制，其中 $b = O(\min\{r, \sqrt{r} + n/r\})$。
• 查询操作从所有区域及包含 $s$ 和 $t$ 的区域的压缩器构建辅助图 $H$，然后在 $H$ 上运行单源最短路径算法，以获得对真实最短路径的 $(2q-1)$-近似。
• 通过调节 $r = n^{4/7}$ 和 $q \geq 1$，该框架实现了 $\tilde{O}(n^{6/7})$ 的摊销更新时间与 $\tilde{O}(qn^{\frac{1}{7}(6+3/q)})$ 的查询时间（用于最短路径），以及 $\tilde{O}(n^{2/3}\varepsilon^{-2})$ 的电流动能近似。

实验结果

研究问题

• RQ1 顶点压缩能否系统性地应用于无小图图的动态图算法设计？
• RQ2 在动态平面图与无小图图中，维护 $(1+\varepsilon)$-近似电流动能时，更新时间与查询时间之间的权衡为何？
• RQ3 能否通过压缩技术在无小图图中实现全源最大流与最短路径问题的子线性最坏情况更新与查询时间？
• RQ4 在 $r$-划分中选择 $r$ 如何影响动态算法的性能？

主要发现

• 本文首次提出全动态算法，用于在平面图与无小图图中 $(1+\varepsilon)$-近似电流动能，实现 $\tilde{O}(n^{2/3}\varepsilon^{-2})$ 的最坏情况更新与查询时间。
• 对于全源最短路径问题，该框架实现了 $\tilde{O}(n^{6/7})$ 的摊销更新时间与 $\tilde{O}(n^{\frac{1}{7}(6+3/q)})$ 的查询时间（对任意 $q \geq 1$），并保证 $(2q-1)$-近似。
• 电流动能算法维持 $\tilde{O}(r\varepsilon^{-2})$ 的最坏情况更新时间与 $\tilde{O}(r + n/\sqrt{r})\varepsilon^{-2}$ 的查询时间，当 $r = n^{2/3}$ 时，整体时间复杂度为 $\tilde{O}(n^{2/3}\varepsilon^{-2})$。
• 该框架可扩展至无小图图，通过利用其结构特性与小分隔符，推广了平面图算法。
• 作者在仅支持顶点激活的增量子图模型中，建立了维护电流动能的上下界。
• 全局重建技术确保了最坏情况下的期望更新时间，使算法在动态变化下具备鲁棒性与高效性。