[论文解读] The prediction distribution of a GARCH(1,1) process

Karim M. Abadir, Alessandra Luati+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2018

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 26被引用 3

一句话总结

本文推导了具有高斯创新项和非对称新闻影响的 GARCH(1,1) 过程的 h 步前预测密度的精确解析形式。显式密度表达式使得在有限时域内能够精确计算风险度量（如预期短缺）并量化非高斯性及尾部行为，表明随着 h 增大，其收敛于具有帕累托尾部的平稳分布。

ABSTRACT

This paper derives the analytic form of the $h$-step ahead prediction density of a GARCH(1,1) process under Gaussian innovations, with a possibly asymmetric news impact curve. The analytic form of the density is novel and improves on current methods based on approximations and simulations. The explicit form of the density permits to compute tail probabilities and functionals, such as expected shortfall, that measure risk when the underlying asset return is generated by a GARCH(1,1). The prediction densities are derived for any finite prediction horizon $h$. For the stationary case, as $h$ increases the prediction density converges to a distribution with Pareto tails which whose form has been already described in the literature. The formulae in the paper characterize the degree of non-gaussianity of the prediction distribution, and the distance between the tails of the finite horizon prediction distribution and the ones of the stationary distribution.

研究动机与目标

• 推导在高斯创新项下 GARCH(1,1) 过程的 h 步预测密度的精确解析表达式。
• 改进基于模拟或近似方法的风险度量在 GARCH 模型中的应用。
• 刻画预测分布的非高斯特征，特别是其尾部行为。
• 分析有限时域预测密度随 h 增大向平稳分布收敛的性质。
• 量化有限时域预测密度与平稳预测密度尾部之间的距离。

提出的方法

• 推导在高斯创新项下 GARCH(1,1) 过程的 h 步前预测的精确概率密度函数。
• 在解析推导中纳入可能非对称的新闻影响曲线。
• 运用数学技巧，对任意有限 h 将预测密度表达为闭式形式。
• 分析预测密度的尾部分布行为，并证明在平稳情况下其收敛于具有帕累托尾部的分布。
• 比较有限时域预测密度与平稳分布的尾部分布结构。
• 利用推导出的密度计算期望短缺等函数性指标及尾部概率。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有高斯创新项和非对称新闻影响的 GARCH(1,1) 过程的 h 步前预测密度的精确解析形式是什么？
• RQ2 在有限预测时域内，预测分布的非高斯性（特别是尾部）如何体现？
• RQ3 随着预测时域 h 增大，预测密度的极限形式是什么？其与已知平稳分布有何关系？
• RQ4 有限时域预测密度的尾部与平稳分布的尾部有何差异？
• RQ5 所推导的密度是否能够比基于模拟的方法更精确地计算预期短缺等风险度量？

主要发现

• 本文首次推导出具有高斯创新项和非对称新闻影响的 GARCH(1,1) 过程的 h 步预测密度的精确解析形式。
• 有限时域预测密度的尾部比正态分布更重，其非高斯特征由推导出的公式得以量化。
• 随着 h 增大，预测密度收敛于具有帕累托型尾部的平稳分布，与文献中已知结果一致。
• 有限时域预测密度与平稳预测密度尾部之间的距离随 h 增大而减小，表明收敛性。
• 显式密度使得预期短缺和尾部概率等风险函数性指标得以精确计算，优于基于模拟的方法。
• 该公式可量化任意有限 h 下预测分布中非高斯性的程度，特别是在尾部。