[论文解读] The Pricing of Multiple-Expiry Exotics

O Hyong-Chol, Mun-Chol Kim|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文提出高阶二元期权作为定价多到期日奇异衍生品的统一框架，将Buchen的双到期方法扩展至三个以上到期日的期权。通过将复杂收益表示为n阶二元期权的线性组合并采用静态对冲，作者利用PDE解法推导出闭式定价公式，实现了在常数波动率和利率下对百慕达式、可展期及多轮喊价期权的高效定价。

ABSTRACT

In this paper we extend Buchen's method to develop a new technique for pricing of some exotic options with several expiry dates(more than 3 expiry dates) using a concept of higher order binary option. At first we introduce the concept of higher order binary option and then provide the pricing formulae of $n$-th order binaries using PDE method. After that, we apply them to pricing of some multiple-expiry exotic options such as Bermudan option, multi time extendable option, multi shout option and etc. Here, when calculating the price of concrete multiple-expiry exotic options, we do not try to get the formal solution to corresponding initial-boundary problem of the Black-Scholes equation, but explain how to express the expiry payoffs of the exotic options as a combination of the payoffs of some class of higher order binary options. Once the expiry payoffs are expressed as a linear combination of the payoffs of some class of higher order binary options, in order to avoid arbitrage, the exotic option prices are obtained by static replication with respect to this family of higher order binaries.

研究动机与目标

• 开发适用于三个以上到期日的多到期日奇异期权的统一定价框架。
• 利用PDE技术将Buchen的双到期二元期权方法推广至高阶二元期权。
• 通过将复杂奇异期权收益表示为高阶二元期权收益的线性组合，实现其静态对冲。
• 利用Black-Scholes PDE推导n阶二元期权的闭式定价公式。
• 在具体工具如百慕达式、多次可展期及多轮喊价期权上展示该方法的应用。

提出的方法

• 通过归纳法引入n阶二元期权，其中n阶二元期权的收益为(n-1)阶二元期权的收益。
• 利用Black-Scholes PDE与Feynman-Kac表示公式推导n阶二元期权的定价公式。
• 将多到期日奇异期权的终端收益表示为高阶二元期权收益的分段线性组合。
• 应用静态对冲：由于收益可通过高阶二元期权投资组合复制，期权价格等于该对冲投资组合的现值。
• 利用一阶与二阶二元期权的已知定价公式（如$ A_K^+ $, $ Q_K^{+} $, $ Q_{KK}^{-+} $）递归构建高阶表达式。
• 通过变量替换$ y = \ln x $将Black-Scholes PDE的初边值问题转化为常系数PDE，再应用期望公式求解。

实验结果

研究问题

• RQ1 Buchen的双到期二元期权方法如何推广至三个以上到期日的期权？
• RQ2 n阶二元期权的数学结构是什么？如何利用PDE进行定价？
• RQ3 复杂的多到期日奇异期权收益能否分解为高阶二元期权收益的线性组合？
• RQ4 如何利用高阶二元期权实现多到期日奇异期权的静态对冲策略？
• RQ5 多到期日奇异期权的定价公式如何由高阶二元期权价格组合而成？

主要发现

• 在$ t < T_0 $时刻，固定时间两次喊价看涨期权的价格由$ Q_{KKK}^{-{-}+} $, $ Q_{KK}^{-+} $, $ A_{KK}^{-+} $, $ A_K^+ $, 和$ B_K^+ $项组合而成，且带有时间依赖的贴现因子。
• 当$ x > K $时，该两次喊价期权在$ T_0 $时刻的价格为$ G(T_0,T_1,T_2) \cdot x - K \cdot e^{-r(T_2-T_0)} $，其中$ G $为累积正态分布与二元正态分布的复合函数。
• 系数$ G(T_0,T_1,T_2) $结合了$ e^{-r(T_2-T_1)} + g(T_1,T_2) $, $ e^{-q(T_1-T_0)}N(d^+) $, $ e^{-r(T_2-T_0)}N(-d^-) $，以及一个二元正态项$ g_1 $。
• 该方法通过直接将收益表示为高阶二元期权收益的组合，避免求解完整的初边值问题，从而实现静态对冲。
• 该框架将Buchen的方法推广至多到期日情形，并提供了一套系统化的方法，通过递归二元分解对复杂奇异期权进行定价。
• 该模型假设利率、红利率与波动率为常数，但向时变系数的推广是直接的。