[论文解读] The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions

Ben Green, Terence Tao|ArXiv.org|Apr 8, 2004

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 24被引用 35

一句话总结

本文证明了素数集合中包含任意长的等差数列，从而解决了数论中一个长期存在的猜想。通过结合Szemerédi关于稠密集的定理与一种新颖的转移原理，将此类结果推广至伪随机测度，再利用Goldston-Yıldırım的工作将素数嵌入到几乎素数的正相对密度伪随机测度中，作者证明了素数的任意正密度子集均包含任意长的等差数列。

ABSTRACT

We prove that there are arbitrarily long arithmetic progressions of primes. There are three major ingredients. The first is Szemeredi's theorem, which asserts that any subset of the integers of positive density contains progressions of arbitrary length. The second, which is the main new ingredient of this paper, is a certain transference principle. This allows us to deduce from Szemeredi's theorem that any subset of a sufficiently pseudorandom set of positive relative density contains progressions of arbitrary length. The third ingredient is a recent result of Goldston and Yildirim. Using this, one may place the primes inside a pseudorandom set of ``almost primes'' with positive relative density.

研究动机与目标

• 解决经典猜想：素数中包含任意长的等差数列。
• 将Szemerédi定理——最初针对整数的稠密子集——推广至具有正相对密度的素数子集。
• 发展一种转移原理，使Szemerédi型结果可应用于稀疏集（如素数）的伪随机测度中。
• 利用Goldston和Yıldırım的结果，将素数嵌入到具有正相对密度的几乎素数的伪随机测度中。
• 证明任何具有正相对上密度的素数子集均包含任意长的等差数列。

提出的方法

• 对具有正相对密度的伪随机整数集应用Szemerédi定理，以保证存在长等差数列。
• 引入一种转移原理，使Szemerédi型结果能从稠密集转移到在伪随机测度中具有正相对密度的稀疏集。
• 利用Goldston-Yıldırım定理，将素数嵌入到集中在几乎素数上且具有正相对密度的伪随机测度中。
• 构造一个在整数上定义的伪随机测度，使其以正相对密度包含素数，从而可应用转移原理。
• 使用复分析和围道积分技术，估算主估计中涉及黎曼ζ函数的积分，以控制误差项。
• 通过对多变量复积分中变量数目的归纳，推导出包含logarithmic幂次R的渐近展开式。

实验结果

研究问题

• RQ1 Szemerédi关于稠密集中长等差数列的定理能否推广至素数等稀疏集？
• RQ2 是否存在一种通用的转移原理，可将稠密集的结果转移到在伪随机测度中具有正相对密度的稀疏集？
• RQ3 素数能否被嵌入到具有正相对密度的几乎素数的伪随机测度中？
• RQ4 每个具有正相对上密度的素数子集是否都包含任意长的等差数列？
• RQ5 素数中k项等差数列数量的下限估计具有怎样的定量强度？

主要发现

• 素数中包含任意长的等差数列，证实了数论中的一个经典猜想。
• 任何具有正相对上密度的素数子集均对所有k包含无穷多条长度为k的等差数列。
• 主要结果通过一种将Szemerédi定理提升至伪随机测度的转移原理建立。
• 利用Goldston-Yıldırım结果将素数嵌入到几乎素数的伪随机测度中，从而可应用转移原理。
• 该方法得到k项等差数列数量的下界形式为(γ(k) + o(1))N²/logᵏN，其中γ(k) > 0。
• 证明依赖于复分析和围道积分控制误差项，其界以exp(−δ√log R)形式衰减，其中δ > 0。