[论文解读] The Primitive Equations in the scaling invariant space $L^{\infty}(L^1)$

Yoshikazu Giga, Mathis Gries+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2017

Navier-Stokes equation solutions参考文献 20被引用 4

一句话总结

本论文在尺度不变空间 $L^∞(L^1)$ 中建立了原始方程的全局强适定性，针对初始数据分解为有界一致连续与有界 $L^1$-值分量的情形。通过利用 $L^∞(L^1)$ 中静压 Stokes 半群的映射性质，证明了当 $L^1$-分量的 $L^∞(L^1)$-范数足够小时，存在唯一的局部温和解；当初始数据具有水平周期性时，可实现全局存在性，从而将经典的 Navier-Stokes 迭代框架推广至粗糙数据下的原始方程。

ABSTRACT

Consider the primitive equations on $\R^2 imes (z_0,z_1)$ with initial data $a$ of the form $a=a_1+a_2$, where $a_1 \in BUC_σ(\R^2;L^1(z_0,z_1))$ and $a_2 \in L^\infty_σ(\R^2;L^1(z_0,z_1))$ and where $BUC_σ(L^1)$ and $L^\infty_σ(L^1)$ denote the space of all solenoidal, bounded uniformly continuous and all solenoidal, bounded functions on $\R^2$, respectively, which take values in $L^1(z_0,z_1)$. These spaces are scaling invariant and represent the anisotropic character of these equations. It is shown that, if $\|a_2\|_{L^\infty_σ(L^1)}$ is sufficiently small, then this set of equations has a unique, local, mild solution. If in addition $a$ is periodic in the horizontal variables, then this solution is a strong one and extends to a unique, global, strong solution. The primitive equations are thus strongly and globally well-posed for these data. The approach depends crucially on mapping properties of the hydrostatic Stokes semigroup in the $L^\infty(L^1)$-setting and can thus be seen as the counterpart of the classical iteration schemes for the Navier-Stokes equations for the situation of the primitive equations.

研究动机与目标

• 在粗糙、尺度不变的函数空间中建立原始方程的全局强适定性。
• 在最小正则性假设下，将经典 Navier-Stokes 方程的迭代方案推广至原始方程。
• 确定原始方程在粗糙初始数据下仍保持全局适定性的最大可能函数空间，特别是 $L^\infty(L^1)$。
• 通过 $BUC_\sigma(L^1)$ 与 $L^\infty_\sigma(L^1)$ 空间分析各向异性在原始方程中的作用。

提出的方法

• 将初始数据分解为 $a = a_1 + a_2$，其中 $a_1 \in BUC_\sigma(L^1)$ 且 $a_2 \in L^\infty_\sigma(L^1)$，以利用尺度不变性与各向异性特性。
• 在 $L^\infty(L^1)$ 设置下应用静压 Stokes 半群，推导温和解的先验估计。
• 在时间加权 $L^\infty$-空间中使用不动点论证，在 $\|a_2\|_{L^\infty_\sigma(L^1)}$ 充分小的条件下构造局部温和解。
• 通过 $L^p$-$L^1$ 估计与半群光滑性性质，分析解的连续性与正则性。
• 利用归纳法与序列 $K_m$ 和 $H_m$ 的迭代界，控制积分表达式中的非线性项。
• 通过周期性与正则化，将局部解延拓为全局强解：在任意 $t>0$ 后，解在 $W^{1,1}$ 与 $L^p$-空间中获得正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无可微性假设下，原始方程是否对 $L^\infty(L^1)$ 中的初始数据具有全局适定性？
• RQ2 原始方程在何种最大尺度不变函数空间中仍存在全局强解？
• RQ3 静压 Stokes 半群在 $L^\infty(L^1)$-设置下的行为如何？能否通过不动点方法构造解？
• RQ4 在何种条件下，局部温和解可延拓为全局强解？
• RQ5 水平周期性如何与粗糙数据情形下的解的正则性及全局存在性相互作用？

主要发现

• 当 $a_1 \in BUC_\sigma(L^1)$ 且 $\|a_2\|_{L^\infty_\sigma(L^1)}$ 足够小时，初始数据 $a = a_1 + a_2$ 存在唯一的局部温和解。
• 解 $v$ 属于 $C([0,T), BUC_\sigma(L^p))$ 对所有 $p \in (1,\infty)$，表明存在即时正则化。
• 若初始数据具有水平周期性，则局部温和解成为强解，并可全局延拓。
• 在任意 $t>0$ 后，解获得正则性，进入 $BUC(W^{1,1})$ 与 $BUC(L^p)$（$p \geq 2$），从而可通过已知正则性理论实现全局延拓。
• 证明依赖于静压 Stokes 半群在 $L^\infty(L^1)$ 中的有界性及其在各向异性函数空间中的光滑性性质。
• 对 $\|a_2\|_{L^\infty_\sigma(L^1)}$ 的小性条件对不动点论证至关重要，并确保迭代方案的收敛性。