[论文解读] The primitivity index function for a free group, and untangling closed curves on hyperbolic surfaces

Neha Gupta, Ilya Kapovich|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 24被引用 9

一句话总结

该论文利用非回溯随机游走的概率方法，建立了自由群（秩 N ≥ 2）中原始性指标函数 f(n) 和简洁性指标函数 f₀(n) 的下界。证明了对双曲曲面有 fρ(L) ≥ c log¹ᐟ³ L，对自由群有 f₀(n) ≥ c log¹ᐟ³ n，表明将闭测地线或闭曲线提升为简洁或原始形式，所需覆盖的度数至少为长度或词长的对数级。

ABSTRACT

Abstract. Scott [39] proved that if Σ is a closed surface with a hyperbolic metric ρ, then for every closed geodesic γ on Σ there exists a finite cover of Σ where γ lifts to a simple closed geodesic. Define fρ(L) ≥ 0 to be the smallest monotone nondecreasing function such that every closed geodesic of length ≤ L on Σ lifts to a simple closed geodesic in a cover of Σ of degree ≤ fρ(L). A result of Patel [32] implies that for every hyperbolic structure ρ on Σ there exists K = K(ρ)> 0 such that fρ(L) ≤ KL for all L> 0. We prove that there exist c = c(ρ)> 0 such that fρ(L) ≥ c log1/3 L for all sufficiently large L. We obtain a similar lower bound for the function fΣ defined analogously to fρ but using the self-intersection number of closed curves on Σ instead of the hyperbolic length. These results are obtained as a consequence of several related results that we establish for free groups. Thus we define, study and obtain lower bounds for the primitivity index function f(n) and the simplicity index function f0(n) for the free group FN = F (a1,..., aN) of finite rank N ≥ 2. The primitivity index function f(n) is the smallest monotone non-decreasing function f(n) ≥ 0 such that for every nontrivial freely reduced word w ∈ FN of length ≤ n there is a subgroup H ≤ FN of index ≤ f(n) such that w ∈ H and that w is a primitive element (i.e. an element of a free basis) of H. The function f0(n) is defined similarly except that instead of w being primitive in H we require that w belongs to a proper free factor of H. The lower bounds for f(n) and f0(n) are obtained via probabilistic methods, by estimating from below the simplicity index for a “sufficiently random ” element wn ∈ FN produced by a simple non-backtracking random walk of length n on FN. 1.

研究动机与目标

• 定义并分析自由群 FN 中的原始性指标函数 f(n)，衡量使一个词在子群中成为原始词所需的最小覆盖度数。
• 定义并研究简洁性指标函数 f₀(n)，要求该词位于某个有限指数子群的真自由因子中。
• 使用概率技术，以词长 n 为参数，建立 f(n) 和 f₀(n) 的定量下界。
• 通过将原始性与简洁性指标与双曲曲面上闭测地线的双曲长度 L 关联，将这些结果推广至双曲曲面。
• 证明为将一条闭测地线提升为简单闭曲线，所需最小覆盖度数在 L 较大时至少以 log¹ᐟ³ L 的速度增长。

提出的方法

• 将原始性指标函数 f(n) 定义为最小的单调不减函数，使得 FN 中所有长度 ≤ n 的非平凡自由约化词均位于某个子群 H 中，且在 H 中为原始词。
• 类似地定义简洁性指标函数 f₀(n)，但要求该词位于 H 的真自由因子中，而不仅是在 H 中原始。
• 在自由群 FN 上使用简单的非回溯随机游走，生成长度为 n 的随机元素 wn，并估计这些元素满足原始性或简洁性条件的概率。
• 通过证明长度为 n 的随机词中有一部分正比例不为原始词，或不位于任何低指数子群的真自由因子中，从而建立 f(n) 和 f₀(n) 的下界。
• 通过利用 FN 的词超曲性结构与曲面的几何关系，将这些群论下界应用于双曲曲面。
• 利用 f₀(n) 的群论下界，推导出双曲曲面上覆盖度数函数 fρ(L) 的下界：fρ(L) ≥ c log¹ᐟ³ L。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于一条长度 ≤ L 的闭测地线，将其提升为简单闭测地线所需的双曲曲面有限覆盖的最小度数是多少？
• RQ2 在秩 N ≥ 2 的自由群 FN 中，原始性指标函数 f(n) 随词长 n 的增长速率如何？
• RQ3 自由群 FN 中非平凡词的简洁性指标函数 f₀(n) 的增长速率是多少？
• RQ4 能否在自由群中利用非回溯随机游走的概率方法，为 f(n) 和 f₀(n) 建立非平凡的下界？
• RQ5 f(n) 和 f₀(n) 的群论下界如何转化为双曲曲面覆盖度数函数 fρ(L) 的几何下界？

主要发现

• 自由群 FN 的原始性指标函数 f(n) 满足 f(n) ≥ c log¹ᐟ³ n，其中 c = c(N) > 0，且对所有充分大的 n 成立。
• 简洁性指标函数 f₀(n) 同样满足 f₀(n) ≥ c log¹ᐟ³ n，其中 c = c(N) > 0，且对所有充分大的 n 成立。
• 对任意具有度量 ρ 的双曲曲面 Σ，覆盖度数函数 fρ(L) 满足 fρ(L) ≥ c log¹ᐟ³ L，其中 c = c(ρ) > 0，且对所有充分大的 L 成立。
• 这些下界通过在 FN 上对非回溯随机游走进行概率分析而建立，表明长度为 n 的随机词中有一部分正比例不为原始词，或不位于任何低指数子群的真自由因子中。
• 结果表明，将一条闭测地线提升为简单曲线所需的最小覆盖度数，至少以长度 L 的三重对数函数速度增长。
• 这些下界是紧致的，即与 Patel 的结果中已知的上界 fρ(L) ≤ KL 在对数因子范围内一致。