[论文解读] The principal series of $p$-adic groups with disconnected centre

Anne‐Marie Aubert, Paul Baum+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 22被引用 14

一句话总结

本文通过使用扩展商和增强的朗兰兹参数，为具有不连通中心的分裂半单 $p$-进李群的主系表示建立了局部朗兰兹对应。证明了 ABPS 猜想在主系表示中成立，该猜想关于伯恩斯坦分量的几何结构，推广了此前仅适用于连通中心的结果。

ABSTRACT

Let G be a split connected reductive group over a local non-archimedean field. We classify all irreducible complex G-representations in the principal series, irrespective of the (dis)connectedness of the centre of G. This leads to a local Langlands correspondence for principal series representations, which satisfies all expected properties. We also prove that the ABPS conjecture about the geometric structure of Bernstein components is valid throughout the principal series of G.

研究动机与目标

• 将局部朗兰兹对应扩展至具有不连通中心的分裂半单 $p$-进李群的主系表示，克服以往仅限于连通中心的限制。
• 验证在群中心不连通时，主系表示中关于伯恩斯坦分量几何结构的 ABPS 猜想。
• 为每个伯恩斯坦分量构造一个交换三角形双射，连接扩展商、不可约表示和增强的朗兰兹参数。
• 将仿射 Hecke 代数与半直积的理论推广至朗兰兹对偶群中的非连通半单群，使用与分量群的半直积。
• 通过幂零共轭类和共轭类定义表示的规范标记，确保与 $L$-包结构相容。

提出的方法

• 构造一个包含扩展商 $(T^\frak{s}//W^\frak{s}})_2$、伯恩斯坦分量 ${\rm Irr}({\mathcal{G}})^{\frak{s}}$ 和增强朗兰兹参数 $\Psi(G)^{\frak{s}}_{\rm en}$ 的交换三角形双射。
• 定义 $T^\frak{s}$ 为朗兰兹对偶群 $G$ 中复半单群 $H^\frak{s}$ 的恒等分支 $H_0^\frak{s}$ 的最大环面，且 $W^\frak{s} = N_{H^\frak{s}}(T)/T$。
• 利用 $W^\frak{s} = \mathcal{W}^{H_0^\frak{s}} \rtimes \pi_0(H^\frak{s})$ 在 $T^\frak{s}$ 上的作用，定义第二类扩展商。
• 通过 $[w,t] \mapsto W^\frak{s} \widetilde{\theta_z}(w,t) = W^\frak{s}(t \cdot h_\mathbf{c}(z))$ 构造映射 $\theta_z: \mathbf{c} \to T^\frak{s}/W^\frak{s}$，其中 $h_\mathbf{c}$ 是与一个幂零共轭类相关的共轭类。
• 通过 KLR 参数构造方法将表示与朗兰兹参数关联，确保与剩余陪集和分量群相容。
• 证明两个表示属于同一 $L$-包当且仅当它们具有相同的幂零共轭类标记和对所有 $z \in \mathbb{C}^\times$ 相同的 $\theta_z$-值。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个局部朗兰兹对应，适用于具有不连通中心的 $p$-进李群的主系表示？
• RQ2 当群中心不连通时，关于伯恩斯坦分量几何结构的 ABPS 猜想在主系表示中是否仍然成立？
• RQ3 在朗兰兹对偶群的非连通设定下，扩展商与交叉积代数如何推广？
• RQ4 在中心不连通的情况下，能否通过幂零共轭类和共轭类作用来刻画 $L$-包结构？
• RQ5 分量群 $\pi_0(H^\frak{s})$ 在定义 $H^\frak{s}$ 的 Weyl 群与 Hecke 代数结构中起什么作用？

主要发现

• 本文为任意分裂半单 $p$-进李群（即使中心不连通）的主系表示构造了局部朗兰兹对应，满足所有预期性质。
• 关于伯恩斯坦分量几何结构的 ABPS 猜想在主系表示中被证明成立，且不依赖于中心的连通性。
• 扩展商 $(T^\frak{s}//W^\frak{s}})_2$ 为不可约表示在主系表示中的参数化提供了具体且可计算的表达方式。
• 主系表示中的两个表示属于同一 $L$-包当且仅当它们由相同的幂零共轭类标记，并且对所有 $z \in \mathbb{C}^\times$ 具有相同的 $\theta_z$-值。
• $W^\frak{s}$ 被实现为半直积 $\mathcal{W}^{H_0^\frak{s}} \rtimes \pi_0(H^\frak{s})$，将标准 Weyl 群作用推广至非连通群。
• 仿射 Hecke 代数 $\mathcal{H}^\frak{s}$ 被实现为扩展仿射 Hecke 代数 $\mathcal{H}(H_0^\frak{s}) \rtimes \pi_0(H^\frak{s})$，其中分量群通过共轭作用于其上。