[论文解读] The Principle of Least Action for Fields Containing Higher Order Derivatives

Nguyễn Đức Minh|ArXiv.org|Jul 28, 2008

Geophysics and Gravity Measurements被引用 3

一句话总结

本文证明，在最小作用量原理中，高阶导数拉格朗日量产生的表面项不可忽略，因为它们直接影响运动方程、能量-动量张量和角动量张量。通过分析二维引力和开放刚性弦模型中的边界条件，本文表明：在引力理论中，狄利克雷边界条件可抑制表面项；而在弦理论中，此类项会改变运动方程并破坏能量守恒，除非显式考虑。

ABSTRACT

When generalizing the principle of least action for fields containing higher order derivatives, in general, it is not possible not to take into account the surface integrated term since it gives direct contribution to the forms of the equations of motion,of the energy-momentum tensor and of the angular-momentum tensor. This result is applied to two examples. In two dimensional gravity, it is essential to supplement Dirichclet condition for the surface integrated terms to vanish. On the contrary, in Hamiltonian description of the open rigid string, the equation of motion is modified by surface integrated terms. Boundary conditions are classified according to forms of certain equations of motion.

研究动机与目标

• 阐明高阶导数场论中表面积分项在最小作用量原理中的作用。
• 推导存在表面项时能量-动量张量和角动量张量的正确形式。
• 对抑制或改变表面项影响的边界条件进行分类。
• 展示表面项如何改变二维引力和开放刚性弦模型中的运动方程与守恒律。

提出的方法

• 推导含二阶导数的拉格朗日量的欧拉-拉格朗日方程，通过分部积分显式追踪表面项。
• 应用诺特定理推导守恒流（能量-动量张量和角动量张量），包括边界项的贡献。
• 在二维引力中应用狄利克雷边界条件以抑制表面项，确保标准守恒律成立。
• 在开放刚性弦理论中应用特定边界条件（场和其变分均趋于零），推导出含非零表面贡献的修正运动方程。
• 计算哈密顿量的时间导数，表明除非包含表面项，否则能量不守恒。
• 分析能量-动量张量的结构及其时间分量，识别表面项如何改变守恒能量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种边界条件下，高阶导数场论中的表面积分项可在最小作用量原理中被忽略？
• RQ2 表面项如何影响含二阶导数的场论中能量-动量张量的形式及其守恒性？
• RQ3 为何在标准边界条件下，开放刚性弦模型中的表面项仍存在，且如何改变其运动方程？
• RQ4 在非零表面项的系统中，哈密顿量函数与守恒能量有何不同？
• RQ5 表面项在高阶导数场论中如何改变角动量张量？

主要发现

• 在二维引力中，场的狄利克雷边界条件可确保表面积分项消失，从而使标准守恒律成立。
• 在开放刚性弦理论中，即使在标准边界条件下，表面项也不消失，会修改运动方程并破坏能量守恒的直观形式。
• 由作用量原理导出的能量-动量张量显式包含表面贡献，影响其时间分量和总守恒能量。
• 哈密顿量函数与守恒能量之差由一个表面项构成，如公式（29）所示，其时间导数非零。
• 角动量张量受表面项影响，其守恒性依赖于边界条件，如边界积分（10）所示。
• 开放刚性弦的运动方程（23）因表面贡献而包含四阶导数和非线性项，仅当 α = 0（Nambu-Goto 极限）时才消失。