[论文解读] The prismatization of $p$-adic formal schemes

Bhargav Bhatt, Jacob Lurie|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2022

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 7

一句话总结

本文为有界 $p$-进形式概形 $X$ 引入了 Cartier–Witt 滑群 $\operatorname{WCart}⁡_X$，在温和条件下建立了 $\operatorname{WCart}⁡_X$ 上的拟相干层与 $X$ 上的棱柱晶体之间的等价关系。该构造利用了导出代数几何与动画 $\delta$-环，实现了对棱柱上同调的堆栈理论重诠释，并通过主丛与导出形变理论，为 Hodge-Tate 比较同构提供了概念性框架。

ABSTRACT

In this note, we introduce and study the Cartier--Witt stack $\mathrm{WCart}_X$ attached to a $p$-adic formal scheme $X$ as well as some variants. In particular, we reinterpret the notion of prismatic crystals on $X$ and their cohomology in terms of quasicoherent sheaf theory on $\mathrm{WCart}_X$ in favorable situations.

研究动机与目标

• 将棱柱晶体的堆栈理论描述从 $\operatorname{WCart}$ 上 $\mathbf{Z}_p$ 推广到任意有界 $p$-进形式概形 $X$。
• 建立相对 Cartier–Witt 滑群 $\operatorname{WCart}_{Y/A}$ 上的拟相干层与相对棱柱站点 $(Y/A)\Delta$ 上棱柱晶体之间的对应关系。
• 通过由扭曲切丛的 PD-包络带的主丛，为 Hodge-Tate 比较同构提供概念性解释。
• 利用动画 $\delta$-环与导出形式 $\delta$-概形，发展棱柱化的导出框架，从而实现对相对棱柱上同调的系统处理。

提出的方法

• 通过导出代数几何与动画 $\delta$-环，在 $p$-幂零环上构造 Cartier–Witt 滑群 $\operatorname{WCart}_X$ 作为函子。
• 通过在 $\operatorname{WCart}$ 上的纤维积构造定义 $\operatorname{WCart}_X$，利用从有界棱柱 $A$ 到 $\operatorname{WCart}$ 的映射。
• 利用绝对棱柱站点 $X^\Delta$ 将 $\operatorname{WCart}_X$ 与棱柱晶体的几何联系起来。
• 为有界棱柱 $(A,I)$ 与 $p$-完全光滑的 $\overline{A}$-概形 $Y$ 引入相对 Cartier–Witt 滑群 $\operatorname{WCart}_{Y/A}$，推广绝对情形。
• 应用 $\infty$-范畴的 Barr-Beck 定理，将动画 $\delta$-环的 $\infty$-范畴识别为余单子 $\operatorname{Forget} \circ \operatorname{Cofree}$ 上的代数。
• 将 Hodge-Tate 滑群 $\operatorname{WCart}^{\mathrm{HT}}_{\mathrm{Spf}(R)/A}$ 视为由扭曲切丛的 PD-包络带的主丛，从而导出 Hodge-Tate 比较同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 $\operatorname{Spf}(\mathbf{Z}_p)$ 上棱柱晶体的堆栈理论描述推广到任意有界 $p$-进形式概形 $X$？
• RQ2 导出 Cartier–Witt 滑群 $\operatorname{WCart}_X$ 与 $X$ 的相对棱柱上同调之间的确切关系是什么？
• RQ3 Hodge-Tate 比较同构是否能从堆栈上的几何结构导出，而非通过约化到晶体比较？
• RQ4 动画 $\delta$-环与导出形式 $\delta$-概形的理论如何支持 $\operatorname{WCart}_X$ 的系统构造？
• RQ5 $\operatorname{WCart}_{Y/A}$ 滑群在几何化相对棱柱上同调中扮演什么角色？

主要发现

• 滑群 $\operatorname{WCart}_X$ 为 $X$ 上的棱柱晶体提供了几何模型，在温和假设下，$\operatorname{WCart}_X$ 上的拟相干层与绝对棱柱站点 $X^\Delta$ 上的 $(p,I)$-完备晶体等价。
• 当 $X = \mathrm{Spf}(R)$ 且 $R$ 为完美oid环时，$\operatorname{WCart}_X$ 同构于 $\mathrm{Spf}(A)$，其中 $(A,I)$ 是与 $R$ 关联的完美棱柱，建立了完美oid环与棱柱之间的直接联系。
• Hodge-Tate 比较同构 $H^*(\overline{\mathbbl{\Delta}}_{R/A}) \simeq \wedge^*\Omega^1_{R/\overline{A}}\{-1\}$ 自然地源于 Hodge-Tate 滑群 $\operatorname{WCart}^{\mathrm{HT}}_{\mathrm{Spf}(R)/A}$ 的结构，其作为由扭曲切丛的 PD-包络带带的主丛。
• 在合成性假设下，导出相对棱柱化 $\operatorname{WCart}_{Y/A}$ 通过其 $\mathcal{O}$-上同调计算了站点理论的相对棱柱上同调 $\operatorname{R\Gamma}^{\mathrm{site}}\Delta(Y/A)$。
• 动画 $\delta$-环的 $\infty$-范畴与余单子 $\mathrm{Forget} \circ \mathrm{Cofree}$ 上的代数的 $\infty$-范畴等价，且威特向量函子 $W(R)$ 自然地赋予 $\delta$-结构。
• 同伦等价 $\mathrm{Hom}_{\delta\mathrm{CAlg}^{\mathrm{an}}}(A, W(R)) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathrm{CAlg}^{\mathrm{an}}}(A,R)$ 通过与限制映射 $\mathrm{Res}: W(R) \to R$ 的复合实现，确认了 $W(R)$ 作为 $\delta$-环的普遍性质。