[论文解读] The probability densities of the first hitting times of Bessel processes

Yuji Hamana, Hiroyuki Matsumoto|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 7被引用 9

一句话总结

本文通过修正贝塞尔函数 $K_\nu$ 的有理函数的逆拉普拉斯变换，推导出从点 $a > b$ 出发的索引为 $\nu$ 的修正贝塞尔过程的首次 hitting 时间的概率密度公式。主要贡献在于首次 hitting 时间密度在无穷远处的渐近行为，表明当 $\nu = 0$ 时衰减率为 $t^{-1} (\log t)^{-2}$，当 $\nu \neq 0$ 时衰减率为 $t^{-1-|\nu|}$，并利用渐近展开和控制收敛定理精确推导出衰减常数。

ABSTRACT

We are concerned with the first hitting times of the Bessel processes. We give explicit expressions for the densities by means of the zeros of the Bessel functions and show their asymptotic behavior.

研究动机与目标

• 推导当 $a > b$ 时，索引为 $\nu$ 的修正贝塞尔过程首次 hitting 时间 $\tau_{a,b}^{(\nu)}$ 的概率密度的显式表达式，其中由于无穷远处存在自然边界，标准特征值展开方法失效。
• 分析当 $t \to \infty$ 时 hitting 时间密度的渐近行为，特别关注衰减速率与常数。
• 通过利用修正贝塞尔函数及其零点的性质，显式反演先前关于 hitting 时间拉普拉斯变换的结果。
• 提供密度的精确渐近展开，包括 $\nu = 0$ 时的对数修正项，方法基于积分表示与控制收敛定理。

提出的方法

• 基于特殊函数理论，使用基于围道积分的方法，反演 $\tau_{a,b}^{(\nu)}$ 的拉普拉斯变换，其表达式为修正贝塞尔函数之比 $K_\nu(a\sqrt{2\lambda})/K_\nu(b\sqrt{2\lambda})$。
• 利用函数 $L_{\mu,c}(x)$，其通过修正贝塞尔函数 $I_\mu$ 与 $K_\mu$ 的比值定义，将逆拉普拉斯变换表示为积分形式。
• 应用最陡下降法，并根据 $L_{\mu,c}(x)$ 在零点与无穷远处的行为，将积分划分为不同区域以估计密度。
• 利用 $K_0(x)$ 在零点附近的渐近展开，基于含 digamma 函数 $\psi(m+1)$ 的级数表示，推导出 $\nu = 0$ 时密度中 $1/(\log t)^2$ 的对数修正项。
• 应用控制收敛定理以控制渐近分析中在小 $x$ 区域上的积分误差项。
• 通过伽马函数的函数方程与倍乘公式简化所得表达式，从而在渐近展开中获得闭式常数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当从 $a > b$ 出发时，索引为 $\nu$ 的修正贝塞尔过程首次 hitting 时间的概率密度函数的显式形式是什么？
• RQ2 当 $t \to \infty$ 时，首次 hitting 时间密度对不同 $\nu$ 值（特别是 $\nu = 0$ 与 $\nu \neq 0$）的衰减速率如何？
• RQ3 渐近展开中的精确常数是什么？它们如何从修正贝塞尔函数在零点与无穷远处的行为中推导得出？
• RQ4 比值 $K_\nu(a\sqrt{2\lambda})/K_\nu(b\sqrt{2\lambda})$ 的逆拉普拉斯变换能否表示为便于渐近分析的可处理积分形式？
• RQ5 修正贝塞尔函数 $K_\nu$ 的零点如何影响 $a > b$ 情况下 hitting 时间密度的结构？

主要发现

• 当 $\nu = 0$ 时，首次 hitting 时间密度满足 $f_{a,b}^{(0)}(t) \sim \frac{2\log c}{t(\log t)^2}$，其中 $c = a/b > 1$，且下一项校正项为 $\frac{\alpha_1}{\log t}$，其中 $\alpha_1 = 2(\gamma - \log 2 + 2\log b)$。
• 当 $\nu \neq 0$ 时，密度满足 $f_{a,b}^{\nu}(t) \sim C_\nu t^{-1-|\nu|}$，其中常数 $C_\nu$ 显式地由伽马函数与比值 $c = a/b$ 表示。
• $\nu = 0$ 的渐近展开是通过涉及 digamma 函数 $\psi(m+1)$ 的 $K_0(x)$ 的级数展开推导得出，从而在衰减速率中引入对数修正项。
• 逆拉普拉斯变换表示为包含 $L_{|\nu|,c}(x)$ 的积分，该函数在 $x \to \infty$ 时呈指数衰减，在 $x \to 0$ 附近行为类似 $x^{2|\nu|}$，从而实现对渐近行为的精确控制。
• 渐近密度中的常数 $C_\nu$ 由 $C_\nu = \cos(\nu\pi) \frac{c^{|\nu|} - c^{-|\nu|}}{2^{2|\nu|-1} \Gamma(|\nu|) \Gamma(|\nu|+1)}$ 给出，其来源于 $L_{|\nu|,c}(x)/x^{2|\nu|}$ 在 $x \to 0^+$ 时的极限。
• 渐近分析依赖于将积分划分为不同区域，并应用控制收敛定理，以证明主要贡献来自 $x \sim 0$ 附近区域，该区域中 $L_{|\nu|,c}(x)$ 表现良好。