[论文解读] The probability that random positive integers are k-wise relatively prime

Jerry Hu|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2012

Analytic Number Theory Research被引用 4

一句话总结

本文推导出 s 个随机选取的正整数 k 重互素的概率的精确渐近公式，推广了经典结果：两个随机整数互素的概率为 $6/\pi^2$。通过递归结构与乘法数论函数，作者建立该概率为 $A_{s,k} = \prod_p \left(1 - \frac{1}{p}\right)^{s-k+1} \sum_{m=0}^{k-1} \binom{s}{m} \left(1 - \frac{1}{p}\right)^{k-1-m} \frac{1}{p^m}$，在成对情况下退化为 $1/\zeta(s)$。

ABSTRACT

An s-tuple of positive integers are k-wise relatively prime if any k of them are relatively prime. Exact formula is obtained for the probability that s positive integers are k-wise relatively prime.

研究动机与目标

• 将经典结果（两个随机整数互素的概率为 $6/\pi^2$）推广至 s 个整数中 k 重互素的情形。
• 推导 s 元组 k 重互素的自然密度的精确渐近公式。
• 通过递归与乘法数论技术，将 Tóth（2002）关于成对互素的前期工作扩展至更广泛的 k 重互素情形。
• 刻画 s 元组 k 重互素且同时与给定辅助整数 $u_1, \dots, u_{k-1}$ 互素的密度。

提出的方法

• 本文将 $Q_{s,k}^{(u)}(n)$ 定义为 $[1,n]^s$ 中满足 k 重互素条件且与 $(k-1)$ 元组 $u = (u_1, \dots, u_{k-1})$ 保持互素关系的 s 元组的计数。
• 建立递归关系：$Q_{s+1,k}^{(u)}(n) = \sum_{\substack{j=1 \\ (j,u_1)=1}}^n Q_{s,k}^{(j*u)}(n)$，其中 $j*u$ 是通过 GCD 与 LCM 运算变换得到的 $(k-1)$ 元组，以保持 k 重互素条件的兼容性。
• 引入乘法数论函数 $f_{s,k,i}(u_i)$ 以编码与 $u_i$ 的互素约束，该函数通过 Möbius 反演与素数分解的逐项乘积形式导出。
• 证明渐近公式 $Q_{s,k}^{(u)}(n) = A_{s,k} \prod_{i=1}^{k-1} f_{s,k,i}(u_i) n^s + O(\theta(u_1) n^{s-1} \log^{\delta(s,k)} n)$，其中 $\delta(s,k) = \max \left\{ \binom{s-1}{i} \mid i=1,\dots,k-1 \right\}$。
• 关键恒等式通过素数上的欧拉乘积表达密度：$A_{s,k} = \prod_p \left(1 - \frac{1}{p}\right)^{s-k+1} \sum_{m=0}^{k-1} \binom{s}{m} \left(1 - \frac{1}{p}\right)^{k-1-m} \frac{1}{p^m}$。
• 证明过程使用数学归纳法、Möbius 反演，以及对含 $\tau_k(n)$ 的除数和的估计，依赖于乘法函数求和的已知渐近性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于一般的 $s \geq 1$ 和 $k \geq 2$，s 个随机选取的正整数 k 重互素的精确渐近概率是多少？
• RQ2 当 s 元组还需与给定的 $k-1$ 个辅助整数 $u_1, \dots, u_{k-1}$ 互素时，该概率如何变化？
• RQ3 k 重互素的递归结构能否通过乘法函数框架精确捕捉，从而实现密度的精确计算？
• RQ4 渐近密度估计中的误差项是什么？其大小如何依赖于辅助整数 $u_i$ 的大小与结构？
• RQ5 k 重互素概率与黎曼 zeta 函数及欧拉乘积有何关联？它如何推广成对互素情形下的 $1/\zeta(s)$ 结果？

主要发现

• s 个正整数 k 重互素的精确自然密度由 $A_{s,k} = \prod_p \left(1 - \frac{1}{p}\right)^{s-k+1} \sum_{m=0}^{k-1} \binom{s}{m} \left(1 - \frac{1}{p}\right)^{k-1-m} \frac{1}{p^m}$ 给出。
• 当 s 元组还需对每个 $i=1,\dots,k-1$ 与给定的 $u_i$ 满足 i 重互素时，密度变为 $A_{s,k} \prod_{i=1}^{k-1} f_{s,k,i}(u_i)$，其中 $f_{s,k,i}(u_i)$ 是基于 $u_i$ 的素因子定义的乘法数论函数。
• 渐近计数 $Q_{s,k}^{(u)}(n)$ 的误差项受 $O(\theta(u_1) n^{s-1} \log^{\delta(s,k)} n)$ 限制，其中 $\theta(u_1)$ 为 $u_1$ 的无平方因子个数，且 $\delta(s,k) = \max_{1 \leq i \leq k-1} \binom{s-1}{i}$。
• 递归结构 $Q_{s+1,k}^{(u)}(n) = \sum_{\substack{j=1 \\ (j,u_1)=1}}^n Q_{s,k}^{(j*u)}(n)$ 成立，其中 $j*u$ 通过涉及 GCD 与 LCM 的变换定义，以保持 k 重互素条件。
• 函数 $f_{s,k,i}(u_i)$ 满足恒等式 $\frac{f_{s,k,i}(u_i)}{f_{s,k,i+1}(u_i)} = \sum_{d|u_i} \frac{\mu(d) \binom{s}{i}^{\omega(d)}}{\alpha_{s,k,i}(d)}$，将其与 Möbius 反演及素数幂分解联系起来。
• 当 $k=2$ 时，该公式退化为已知结果 $1/\zeta(s)$，恢复了 s 个整数成对互素的经典概率。