[论文解读] The Problem of Dynamic Programming on a Quantum Computer

Pooya Ronagh|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文研究了有限时域动态规划（DP）问题的量子查询复杂度，提出了一种查询模型以分析量子与经典算法。证明了DP问题不可能实现超过二次方的加速，建立了量子下界为Ω(√|S||A|)，经典随机化下界为Ω(|S||A|)，从而排除了这些问题存在指数级量子加速的可能性。

ABSTRACT

We discuss the problem of finite-horizon dynamic programming (DP) on a quantum computer. We introduce a query model for studying quantum and classical algorithms for solving DP problems, and provide example oracle constructions for the travelling salesperson problem, the minimum set-cover problem, and the edit distance problem. We formulate open questions regarding quadratic quantum speedups for DP and discuss their implications. We then prove lower bounds for the query complexity of quantum algorithms and classical randomized algorithms for DP, and show that no greater-than-quadratic speedup can be achieved for solving DP problems.

研究动机与目标

• 形式化有限时域动态规划在量子计算机上的查询复杂度。
• 通过统一的查询模型比较量子与经典随机算法。
• 研究对于TSP和集合覆盖等NP难DP问题，二次方量子加速是否可实现。
• 为量子与经典算法建立紧致的查询复杂度下界。
• 通过证明二次加速的最优性，排除动态规划问题存在指数级量子加速的可能性。

提出的方法

• 提出一种查询模型，其中算法通过一个预言机访问给定状态-动作-时间三元组的状态转移和奖励信息。
• 应用广义关系对偶方法推导量子查询复杂度的下界。
• 使用决策树分析证明经典随机化查询复杂度的下界。
• 为TSP、最小集合覆盖和编辑距离构造预言机，以实例化一般模型。
• 将DP实例区分问题约化为函数孪生体区分问题，从而可应用对偶方法技术。
• 证明区分DP实例的问题可归约为区分仅在一个值上不同的函数孪生体。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子算法能否在求解有限时域动态规划问题时实现超过二次方的加速？
• RQ2 对于TSP和集合覆盖等NP难DP问题，是否存在量子加速的根本限制？
• RQ3 广义关系对偶方法能否用于推导DP问题的紧致量子查询下界？
• RQ4 对于DP问题，有界误差随机化经典算法的查询复杂度是多少？
• RQ5 动态规划问题是否存在指数级量子加速，还是二次方加速已为最优？

主要发现

• 求解有限时域DP问题的量子查询复杂度下界为Ω(√|S||A|)，证明了不可能存在超过二次方的加速。
• 经典有界误差随机化算法需要Ω(|S||A|)次查询，与区分函数孪生体的信息论下界一致。
• 本文证明，任何潜在的DP问题二次方量子加速都将是最优的，仅相差多对数因子。
• 结果排除了即使在相干QRAM访问下，DP问题存在指数级量子加速的可能性。
• 该分析适用于TSP、最小集合覆盖和编辑距离等主要NP难问题，表明其量子复杂度本质上受到限制。
• 该框架将DP实例区分问题约化为函数孪生体区分问题，从而可应用对偶方法技术。