[论文解读] The problem of harmonic analysis on the infinite-dimensional unitary group

Grigori Olshanski|ArXiv.org|Sep 24, 2001

Random Matrices and Applications参考文献 13被引用 10

一句话总结

本文通过引入一个四参数族的‘自然’酉表示，为无限维酉群 $U(\infty)$ 上的调和分析问题提供了替代方案，以弥补其不存在常规正则表示的缺陷。研究证明，$U(\infty)$ 的任意特征标之谱测度，可由其限制到 $U(N)$ 时的离散谱测度逼近，从而将调和分析问题转化为随机矩阵理论与渐近组合学中的渐近极限问题，其完整解法在附录论文 [BO4] 中实现。

ABSTRACT

The goal of harmonic analysis on a (noncommutative) group is to decompose the most `natural' unitary representations of this group (like the regular representation) on irreducible ones. The infinite-dimensional unitary group U(infinity) is one of the basic examples of `big' groups whose irreducible representations depend on infinitely many parameters. Our aim is to explain what the harmonic analysis on U(infinity) consists of. We deal with unitary representations of a reasonable class, which are in 1-1 correspondence with characters (central, positive definite, normalized functions on U(infinity)). The decomposition of any representation of this class is described by a probability measure (called spectral measure) on the space of indecomposable characters. The indecomposable characters were found by Dan Voiculescu in 1976. The main result of the present paper consists in explicitly constructing a 4-parameter family of `natural' representations and computing their characters. We view these representations as a substitute of the nonexisting regular representation of U(infinity). We state the problem of harmonic analysis on U(infinity) as the problem of computing the spectral measures for these `natural' representations. A solution to this problem is given in the next paper math/0109194, joint with Alexei Borodin. We also prove a few auxiliary general results. In particular, it is proved that the spectral measure of any character of U(infinity) can be approximated by a sequence of (discrete) spectral measures for the restrictions of the character to the compact unitary groups U(N). This fact is a starting point for computing spectral measures.

研究动机与目标

• 为 $U(\infty)$ 定义一个有意义的正则表示替代品，因其非局部紧致性而无法拥有传统正则表示。
• 证明 $U(\infty)$ 的任意特征标之谱测度，可由其限制到有限维群 $U(N)$ 所产生的离散谱测度逼近。
• 将 $U(\infty)$ 上的调和分析问题重新表述为计算一个四参数族‘自然’表示的谱测度。
• 为后续工作 [BO4] 中这些谱测度的显式计算，奠定分析与结构基础，特别是关于一致系统与极值特征标的理论。

提出的方法

• 构造 $G = U(\infty) \times U(\infty)$ 的酉表示族，其中包含一个关于 $K$-不变的循环向量，$K$ 为同构于 $U(\infty)$ 的对角子群，从而得到球对称表示。
• 利用球对称表示与特征标之间的对应关系：每个表示对应于 $U(\infty)$ 上一个中心的、正定的、归一化的函数（即特征标）。
• 通过在 Gelfand-Tsetlin 图 $\mathbb{GT}_N$ 上定义一致系统 $\{P_N(\cdot \mid z,z,w,w')\}$，定义四参数特征标族 $\chi_{z,z,w,w'}$。
• 利用签名收敛与一致系统的性质，证明任意 $U(\infty)$ 特征标的谱测度是其限制到 $U(N)$ 时所关联的离散谱测度的弱极限。
• 建立 $U(\infty)$ 的极值特征标与 Gelfand-Tsetlin 图中无限路径空间上的极值中心测度之间的对应关系，其支撑位于终点为边界点 $\omega \in \Omega$ 的正规路径上。
• 将调和分析问题转化为计算特征标 $\chi_{z,z,w,w'}$ 的谱测度 $P$，并证明该测度是有限维测度 $\underline{P}_N$ 的弱极限。

实验结果

研究问题

• RQ1 鉴于 $U(\infty)$ 非局部紧致且缺乏传统正则表示，其正则表示的合适替代品是什么？
• RQ2 如何利用 $U(N)$ 有限维酉群的限制来逼近 $U(\infty)$ 特征标的谱测度？
• RQ3 如何描述 $U(\infty)$ 的极值特征标空间的结构？它们与 Gelfand-Tsetlin 图边界的关系是什么？
• RQ4 如何将 $U(\infty)$ 上的调和分析问题转化为随机矩阵理论或渐近组合学中的渐近问题？
• RQ5 一致系统 $\{P_N\}$ 在 $\mathbb{GT}_N$ 上与由此产生的特征标的谱测度之间存在何种精确关系？

主要发现

• 任意 $U(\infty)$ 特征标的谱测度，可由其限制到 $U(N)$ 时所生成的离散谱测度序列逼近，从而在有限维与无限维调和分析之间建立了关键联系。
• $U(\infty)$ 的极值特征标与 Gelfand-Tsetlin 图的边界点 $\omega \in \Omega$ 一一对应，每个极值特征标 $\chi^{(\omega)}$ 对应于一个支撑在终点为 $\omega$ 的正规路径集合上的极值中心测度 $M^{(\omega)}$。
• 四参数特征标族 $\chi_{z,z,w,w'}$ 通过 $\mathbb{GT}_N$ 上的一致系统 $P_N(\cdot \mid z,z,w,w')$ 构造而成，为调和分析提供了一类自然的表示族。
• 与特征标 $\chi$ 关联的球对称表示 $T_{\chi}$ 的分解是无重数的，其由谱测度 $P$ 描述，该测度刻画了其在不可约球对称表示上的直积分分解。
• $U\left(\infty\right)$ 上的调和分析问题被简化为计算特征标 $\chi_{z,z,w,w'}$ 的谱测度 $P$，该测度被证明是有限维测度 $\underline{P}_N$ 的弱极限。
• 完整谱测度计算的解法在附录论文 [BO4] 中完成，其中谱测度被明确描述为随机点过程，这是表示论中一种新颖的工具。