[论文解读] The product formula for Gromov-Witten invariants

Kai Behrend|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 1997

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用 35

一句话总结

本文建立了光滑射影概形乘积的格罗莫夫-威滕不变量的乘积公式，证明了 $V \times W$ 的不变量通过虚拟基本类由 $V$ 和 $W$ 的不变量的上积给出。关键结果是乘积的格罗莫夫-威滕变换与单个变换的上积之间存在自然同构，该结果通过动机技术及 DMC-动机的恒等原理得以验证。

ABSTRACT

We prove that the system of Gromov-Witten invariants of the product of two varieties is equal to the tensor product of the systems of Gromov-Witten invariants of the two factors.

研究动机与目标

• 确定乘积概形 $V \times W$ 的格罗莫夫-威滕不变量与因子 $V$ 和 $W$ 的不变量之间的关系。
• 在虚拟基本类的框架下，建立格罗莫夫-威滕不变量的一般乘积公式。
• 证明 $V \times W$ 的格罗莫夫-威滕变换在 DMC-动机范畴中等于 $V$ 和 $W$ 的变换的上积。
• 通过动机与堆论方法，将 $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 的直观枚举论证推广至任意光滑射影概形。

提出的方法

• 使用动机格罗莫夫-威滕不变量的框架，作为在带有扩展同源的稳定模图范畴上的函子之间的自然变换。
• 在稳定图范畴上定义函子 $\Psi_p$，通过投影 $p_V$ 和 $p_W$ 将 $V$ 和 $W$ 的数据拉回到 $V \times W$，并保持稳定化与轨道映射。
• 通过模空间上的对角态射 $\Delta^*$ 复合个体不变量并拉回，构造自然变换 $I^{V} \cup I^{W} = \Delta^* (I^V \otimes I^W)$。
• 应用 DMC-动机的恒等原理（文献[3]中的命题8.2）证明 $I^{V} \cup I^{W} = I^{V \times W}$，从而确立乘积公式。
• 依赖于虚拟基本类与纤维积的相容性，以及格罗莫夫-威滕构造在适当同源与边收缩下的函子性。
• 在分次 DMC-动机范畴中使用张量积恒等式 $h(V)^{\otimes S}(\chi \dim V) \otimes h(W)^{\otimes S}(\chi \dim W) = h(V \times W)^{\otimes S}(\chi \dim V \times W)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 乘积概形 $V \times W$ 的格罗莫夫-威滕不变量如何分解为 $V$ 和 $W$ 的不变量？
• RQ2 能否将 $V \times W$ 的格罗莫夫-威滕变换表示为 $V$ 和 $W$ 的变换的上积？
• RQ3 虚拟基本类在非凸概形的格罗莫夫-威滕不变量定义中起什么作用？
• RQ4 格罗莫夫-威滕不变量的动机形式如何编码底层概形的乘积结构？
• RQ5 该乘积公式是否与稳定映射和模图的函子结构相容？

主要发现

• 乘积 $V \times W$ 的格罗莫夫-威滕不变量由 $V$ 和 $W$ 的不变量的上积给出，需带符号修正：$I^{V \times W}_{g,n}(\beta)(\gamma \otimes \epsilon) = (-1)^s I^V_{g,n}(\beta_V)(\gamma) \cup I^W_{g,n}(\beta_W)(\epsilon)$，其中 $s = \sum_{i>j} \deg \gamma_i \deg \epsilon_j$。
• 通过使用虚拟基本类而非经典交点理论，该乘积公式对任意光滑射影概形成立，而不仅限于凸情形。
• $V \times W$ 的格罗莫夫-威滕变换与复合 $\Delta^* \circ (I^V \otimes I^W)$ 一致，从而在 DMC-动机范畴中建立了自然同构。
• 该证明依赖于 DMC-动机的恒等原理，该原理允许从生成子范畴上的相等性推导出自然变换的相等性。
• 该构造是函子性的：从 $V \times W$ 的稳定图范畴到 $V$ 与 $W$ 的图范畴的纤维积的映射 $\Psi$ 保持了扩展同源与稳定化的结构。
• 该结果推广了 $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 的直观情形，其中 bidegree 为 $(d_1,d_2)$ 的曲线通过 $2(d_1 + d_2) + g - 1$ 个点的数目，等于每个因子的数目之积。