[论文解读] The Product Knapsack Problem: Approximation and Complexity

Ulrich Pferschy, Joachim Schauer+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2019

Optimization and Search Problems参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文将乘积背包问题（PKP）确立为弱NP难问题，并基于利润空间的动态规划提出了一种全多项式时间近似方案（FPTAS）。此外，本文分析了一种自然的贪心扩展，表明其仅能达到次优的近似比，并在标准复杂性假设下证明该FPTAS是最优的。

ABSTRACT

We consider the product knapsack problem, which is the variant of the classical 0-1 knapsack problem where the objective consists of maximizing the product of the profits of the selected items. These profits are allowed to be positive or negative. We show that this recently introduced variant of the knapsack problem is weakly NP-hard and present a fully polynomial-time approximation scheme (FPTAS) for the problem. Moreover, we analyze the approximation quality achieved by a natural extension of the classical greedy procedure to the product knapsack problem.

研究动机与目标

• 确立乘积背包问题（PKP）的计算复杂性，其目标是最大化所选物品利润的乘积。
• 为PKP设计一种全多项式时间近似方案（FPTAS），以克服经典贪心算法无法实现常数近似比的缺陷。
• 分析经典贪心算法在乘积背包设定下的自然扩展的近似质量。
• 在标准复杂性假设下，证明所提出的FPTAS在近似性能上是最优的。
• 证明PKP的贪心方法仅能达到次优的近似比，且该界在渐近意义上是紧的。

提出的方法

• 通过从经典0-1背包问题的约化，证明PKP的弱NP难性，使用保持解结构的变换。
• 基于利润的对数变换，利用动态规划构建FPTAS，将乘积最大化问题转化为求和最大化问题。
• 对负利润物品使用拆分技术，引入拆分物品以处理负利润物品数量的奇偶性约束。
• 对利润的对数值应用舍入过程，以实现时间复杂度多项式且误差边界可控的近似。
• 通过在对数空间中界定启发式解的对数目标值与最优解的相对关系，分析近似比。
• 通过构造一个示例，证明近似比的紧性，其中贪心算法的性能与理论界完全一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 乘积背包问题（PKP）是否为弱NP难问题，其复杂性能否被正式确立？
• RQ2 尽管经典贪心启发式方法失效，能否为PKP构造出全多项式时间近似方案（FPTAS）？
• RQ3 将经典贪心算法自然扩展到PKP设定下，所能达到的最佳近似比是多少？
• RQ4 贪心算法在最坏情况下的性能与最优解相比如何？
• RQ5 在标准复杂性假设下，能否证明FPTAS在近似比方面是最优的？

主要发现

• 通过从经典0-1背包问题的约化，证明了乘积背包问题为弱NP难问题。
• 基于利润对数值的动态规划，构建了PKP的FPTAS，在时间复杂度为n、C和1/ε的多项式时间内实现(1−ε)近似。
• 扩展至PKP的贪心算法最多只能达到(z*)^{1/3}的近似比，且该界在渐近意义上是紧的。
• 贪心解在对数空间中的加法误差被限制在2·log(p_max)以内，导致最坏情况下的近似比为z*^{1/3} · p_max^2。
• FPTAS的构造是最优的，即除非P=NP，否则无法在多项式时间内获得更优的近似比。
• 提供了一个示例，其中贪心算法的解值仅为2(M+2)，而最优解达到(M+2)M²，从而验证了理论近似边界的紧性。