[论文解读] The profinite completion of a group localised at a subgroup

Colin D. Reid|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文引入了群在共轭子群处的有限完备化，构造了一个完全不连通局部紧（t.d.l.c.）群 $ψ_G^K$，该群稠密地嵌入原群 $G$，并将子群 $K$ 的有限完备化实现为一个开紧致子群。其关键贡献在于一个普遍性质：任何从 $G$ 到 t.d.l.c. 群且使 $K$ 的像为有限完备化的同态，均可唯一地通过此完备化因子分解。

ABSTRACT

Let $G$ be a group and let $K$ be a commensurated subgroup of $G$. Then there is a totally disconnected, locally compact (t.d.l.c.) group $\hat{G}_K$ that contains the profinite completion of $K$ as an open compact subgroup and also contains $G$ (modulo the finite residual of $K$) as a dense subgroup. Moreover, given an arbitrary group $G$, then every t.d.l.c. group containing an image of $G$ as a dense subgroup can be realised as a quotient of $\hat{G}_K$ for some commensurated subgroup $K$.

研究动机与目标

• 将有限完备化构造推广至含有丰富有限商的共轭子群的群，从而将其应用范围从剩余有限群扩展出去。
• 定义一个典范的 t.d.l.c. 群 $ψ_G^K$，以捕捉 $G$ 在共轭子群 $K$ 处的局部有限结构。
• 建立一个普遍性质，确保从 $G$ 到 t.d.l.c. 群且使 $K$ 的像为有限完备化的每个同态，均可唯一地通过 $ψ_G^K$ 因子分解。
• 阐明局部完备化与标准有限完备化之间的关系，特别是针对 $K$ 及 $\mathrm{Comm}_G(K)$ 的子群。

提出的方法

• 将局部有限完备化 $\hat{G}_K$ 定义为 $G$ 关于 $K$ 的有限指数子群滤子的完备化，使用 $G$ 上滤子的等价类。
• 为 $\hat{G}_K$ 赋予由基本开集 $B(gN) = \{[f] \in \hat{G}_K \mid gN \in f\}$ 生成的群拓扑（$g \in G$，$N \in \mathcal{F}(K)$），使其成为一个 t.d.l.c. 群。
• 构造一个典范同态 $\theta: G \to \hat{G}_K$，其像在 $\hat{G}_K$ 中稠密，且 $\theta|_K$ 连续地映射 $K$ 到一个开紧致子群 $\overline{\theta(K)}$。
• 证明普遍性质：对任意连续同态 $\phi: G \to R$，若 $\overline{\phi(K)}$ 为有限完备化，则存在唯一的连续映射 $\psi: \hat{G}_K \to R$，使得 $\phi = \psi \circ \theta$。
• 证明 $\theta|_K$ 诱导出 $K$ 的标准有限完备化，因此 $\hat{K}_K = \hat{K}$，且 $\overline{\theta(K)}$ 作为拓扑群同构于 $\hat{K}$。
• 证明 $\hat{G}_K$ 的选取与共轭子群的选择无关：若 $K$ 与 $L$ 共轭，则 $\hat{G}_K = \hat{G}_L$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将有限完备化构造推广至非剩余有限但含有具有丰富有限商的共轭子群的群？
• RQ2 作为群 $G$ 在共轭子群 $K$ 处完备化的 t.d.l.c. 群，其普遍性质是什么？
• RQ3 局部完备化 $\hat{G}_K$ 在多大程度上编码了 $G$ 的结构及其到 t.d.l.c. 群的同态？
• RQ4 局部完备化与 $K$ 的标准有限完备化以及与 $\mathrm{Comm}_G(K)$ 有何关系？
• RQ5 在何种条件下，同态 $\theta: G \to \hat{G}_K$ 是连续的或同构的？

主要发现

• 局部有限完备化 $\hat{G}_K$ 是一个 t.d.l.c. 群，它在 $G$ 中稠密地嵌入，且将 $K$ 的有限完备化作为开紧致子群。
• 同态 $\theta: G \to \hat{G}_K$ 具有普遍性：任何从 $G$ 到 t.d.l.c. 群 $R$ 的连续同态 $\phi$，若 $\overline{\phi(K)}$ 为有限完备化，则存在唯一的连续映射 $\psi: \hat{G}_K \to R$，使得 $\phi = \psi \circ \theta$。
• $\theta|_K$ 诱导出 $K$ 的标准有限完备化，因此 $\hat{K}_K = \hat{K}$，且 $\overline{\theta(K)}$ 作为拓扑群同构于 $\hat{K}$。
• $\theta$ 的核是所有 $K$ 的闭有限指数子群的交集，且对每个此类 $N$，有 $\theta^{-1}(\overline{\theta(N)}) = N$。
• 若 $K$ 与 $L$ 是 $G$ 的共轭子群，则 $\hat{G}_K = \hat{G}_L$，即完备化仅依赖于 $K$ 的共轭类。
• 当 $G$ 离散且 $K$ 共轭时，完备化 $\hat{G}_K$ 通过普遍性质涵盖了 $G$ 到 t.d.l.c. 群的所有同态，且 $\theta$ 连续当且仅当 $K$ 在 $G$ 中开。