[论文解读] The Projective Hull of Certain Curves in C^2

F. Reese Harvey, H. Blaine Lawson+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2006

Geometry and complex manifolds参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文证明，对于 ℂ² 中的紧致、稳定、实解析曲线 γ，其射影包（projective hull）减去 γ 的部分是 ℙ²−γ 中的一个 1 维复解析子簇。通过将 Bishop 的有限性论证方法适配到射影包的语境中，证明了对几乎所有复直线，包与该直线的交集是可数的，从而得出主要结论：包在 γ 上的补集是具有在 γ 上指定边界行为的一系列解析曲线的并集。

ABSTRACT

The projective hull X^ of a subset X in complex projective space P^n is an analogue of the classical polynomial hull of a set in C^n. If X is contained in an affine chart C^n on P^n, then the affine part of X^ is the set of points x in C^n for which there exists a constant M=M_x so that |p(x)| < M^d sup{|p(y)| : y in X} for all polynomials p of degree less than or equal to d, and any d > 0. Let X^(M) be the set of points x where M_x can be chosen < M. Using an argument of E. Bishop, we show the following. Let G be a compact real analytic curve (not necessarily connected) in C^2. Then for any linear projection p: C^2 --> C^1, the set of points in G^(M) lying above a point z in C^1 is finite for almost all z. Using this, we prove the conjecture that for any compact stable real-analytic curve G in P^n, the set G^-G is a 1-dimensional complex analytic subvariety of P^n-G.

研究动机与目标

• 证明猜想 1.1：在 ℙⁿ 中，有限条简单闭合实解析曲线的并集减去其自身后，其射影包是 1 维复解析子簇。
• 在稳定性假设下，建立射影包与一般复直线相交的有限性。
• 证明对于稳定曲线，集合 \widehat{\gamma} - \gamma 是具有边界分量位于 γ 上的不可约解析曲线的并集。
• 通过适配 Bishop 方法，将多项式凸性结果推广到射影包的语境。

提出的方法

• 将 Errett Bishop 的有限性论证从多项式凸性推广到 ℙⁿ 中射影包的设定。
• 定义集合 \widehat{X}_M 为满足对所有次数为 d 的多项式 p，有 |p(x)| ≤ M^d sup_X |p| 的点 x ∈ ℂⁿ。
• 引入双次数 (d,e) 的概念以控制多项式增长，并应用最大模原理。
• 引入集合 S_M(z) = {w ∈ ℂ : |Q(z,w)| ≤ M^{d+e} sup_X |Q| 对所有双次数为 (d,e) 的 Q 成立}，以分析在 z 处的纤维结构。
• 应用 Federer 的平坦支撑定理与 King 的电流结构定理，分析解析分支的边界行为。
• 通过实解析曲线的复化构造嵌入的黎曼曲面，映射到包的各组成部分。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 ℂ² 中，稳定实解析曲线的射影包减去该曲线本身是否构成 1 维复解析子簇？
• RQ2 对几乎所有复直线，射影包与该直线的交集是有限集还是可数集？
• RQ3 射影包的结构能否分解为具有在原曲线各组成部分上边界的解析曲线？
• RQ4 稳定性（即常数 C_x 有界）在确保包为解析集中的作用是什么？

主要发现

• 对任意紧致实解析曲线 γ ⊂ ℂ² 及线性投影 π: ℂ² → ℂ，对几乎所有的 z ∈ ℂ，集合 \widehat{\gamma}_M ∩ π^{-1}(z) 是有限集。
• 对几乎所有 z ∈ ℂ，集合 \widehat{\gamma}(z) = \bigcup_M \widehat{\gamma}_M(z) 是可数集。
• 若 γ ⊂ ℙⁿ 是有限条简单闭合实解析曲线的并集且稳定，则 \widehat{\gamma} - \gamma 是 ℙⁿ − γ 中的 1 维复解析子簇。
• \widehat{\gamma} - \gamma 的每个不可约分支要幺是边界映射到 γ 的若干分支并集的黎曼曲面，要幺是包含某个 γ_k 复化后的代数曲线。
• 每个解析分支 V_j 的闭包的边界是 γ 的若干分支 γ_j 的并集，重数为 1，且该分支通过 γ_j 的复化实现解析延拓。
• 射影包 \widehat{\gamma} 具有有限面积，且不可约分支有限，这由其在一般投影到 ℙ¹ 上的有限重叠性所证明。