[论文解读] The Property of Rapid Decay for Discrete Quantum Groups

Roland Vergnioux|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2020

Advanced Operator Algebra Research参考文献 1被引用 48

一句话总结

本文将 Rapid Decay 的性质扩展到离散量子群，建立等价的 RD 表征，证明对单模量自由量子群的 RD，并将 K-理论应用扩展到量子环境。

ABSTRACT

We introduce the Property of Rapid Decay for discrete quantum groups by equivalent characterizations that generalize the classical ones. We then investigate examples, proving in particular the Property of Rapid Decay for unimodular free quantum groups. We finally check that the applications to the K-theory of the reduced group C*-algebras carry over to the quantum case.

研究动机与目标

• 将 Property of Rapid Decay 泛化到离散量子群的框架。
• 发展与经典（群）情形等价的 RD 形式化表达。
• 识别在RD成立的量子类别，并与非单模量情形进行对比。
• 在量子情境下保留基于RD的 reduced C*-代数的 K-理论应用。

提出的方法

• 通过带谱投影的无界乘子定义并分析离散量子群的长度。
• 使用 Sobolev 型范数与傅里叶变换映射建立等价的 RD 条件。
• 通过将 Haagerup 的经典策略改编到量子情境，证明单模量自由量子群的 RD。
• 将 RD 与可接纳的离散量子群在可度量性和非单模量情形下的多项式增长联系起来，并由此推导出单模量性作为结果。
• 将 RD 结果转译到 K-理论 contexts，表明 RD 控制的代数在量子情境中可得到与经典情形相似的 K-理论结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以一种推广 Jolissaint 的经典 RD 的方式，为离散量子群定义 Property of Rapid Decay？
• RQ2 在量子情境下，使用 Sobolev 范数或傅里叶分析工具的 RD 等价表述有哪些？
• RQ3 哪些离散量子群类别（例如单模量自由量子群）满足 RD，及其原因？
• RQ4 在量子情境下，RD 对 reduced C*-代数的 K-理论有什么后果？
• RQ5 在量子情境下，amenability（可接纳的）性或多项式增长是否像经典理论那样刻画 RD？

主要发现

• 通过等价表征建立离散量子群的 RD，使其推广自经典表征。
• 可接纳的离散量子群有 RD 当且仅当它们具有多项式增长（duals of connected compact Lie groups）。
• 单模量性是 RD 的必要条件；非单模量情形不具备多项式增长，而单模量情形可以满足 RD。
• 单模量自由量子群上成立 RD，与 Haagerup 对自由群的结果相呼应。
• 对 K-理论的应用延续到量子情境，将 RD 与量子情境中的快速衰减函数的致密子代数联系起来。