[论文解读] The Quantum Approximate Optimization Algorithm Needs to See the Whole Graph: A Typical Case

Edward Farhi, David Gamarnik+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 16被引用 88

一句话总结

该论文证明，对于随机稀疏图，QAOA 在浅层深度 (p = O(log n)) 不能超过最优独立集大小的常数分数，原因是局部性和重叠缝隙性质，除非 p 增大到算法能有效看到整张图。

ABSTRACT

The Quantum Approximate Optimization Algorithm can naturally be applied to combinatorial search problems on graphs. The quantum circuit has p applications of a unitary operator that respects the locality of the graph. On a graph with bounded degree, with p small enough, measurements of distant qubits in the state output by the QAOA give uncorrelated results. We focus on finding big independent sets in random graphs with dn/2 edges keeping d fixed and n large. Using the Overlap Gap Property of almost optimal independent sets in random graphs, and the locality of the QAOA, we are able to show that if p is less than a d-dependent constant times log n, the QAOA cannot do better than finding an independent set of size .854 times the optimal for d large. Because the logarithm is slowly growing, even at one million qubits we can only show that the algorithm is blocked if p is in single digits. At higher p the algorithm "sees" the whole graph and we have no indication that performance is limited.

研究动机与目标

• 通过将 QAOA 作为量子优化的测试平台，激励研究随机图上的 MIS。
• 表征 QAOA 在浅深度下因图的局部性而受限的问题。
• 引入 Overlap Gap Property（OGP）作为低深度量子算法的屏障。
• 证明在大 d 时，且 p 仅为常数倍的 log n 的情况下，对 QAOA+（含剪枝）的表现不能超越一个常数因子的近似。

提出的方法

• 为 MIS 定义局部的图依赖成本函数，并实现带有交替单元 U(C,γ) 与 U(B,β) 的 QAOA。
• 使用乘积初态并分析局部性，证明远处量子比特（相距 2p）测量独立性。
• 利用随机图中大 MIS 的 Overlap Gap Property(OGP) 来界定浅深度下可达到的性能界限。
• 通过将 QAOA 输出剪枝为独立集来引入 QAOA+，并在 OGP 下分析其性能。
• 给出 QAOA+ 输出的汉明重量的集中性结果，以支持对性能的概率界限。
• 应用图插值技术，证明在 2p 低于某阈值时，该算法以高概率无法超过最优解的固定分数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在固定平均度 d 的随机图上，低深度 QAOA（p = O(log n)）是否能超过常数因数的 MIS 近似？
• RQ2 局部性如何限制 QAOA 关联远处量子比特的能力并影响 MIS 表现？
• RQ3 Overlap Gap Property 在阻碍浅深度量子算法中的作用是什么？
• RQ4 将 QAOA 输出剪枝为 MIS（QAOA+）是否改变了由局部性和 OGP 所施加的基本限制？

主要发现

• 对于固定平均度 d 的随机图，且 2p <= w log n / log(d/ln 2) (w<1，d 很大)，QAOA 在渐近意义上不能超过最优 MIS 大小的 0.854 倍。
• 如果 p 足够大，使得算法实际看到整张图，则上述论据没有指示出的性能极限。
• 在深度 p=1.5，使用定制的初态时，QAOA+ 在大 d 下的期望目标值接近 1.02 n / d，显示了浅层 QAOA+ 的基线性能。
• Overlap Gap Property 指出几乎最优独立集之间的重叠存在尖锐分离，这在低深度通过局部性和相关性对 QAOA+ 形成阻碍。
• 一个集中性结果表明 QAOA+ 输出的汉明重量在高概率下集中在其均值周围，支持概率界限。
• OGP 与局部性的结合给出一个形式上的阻碍定理：在常数倍于 log n 的深度下，对于大 d，QAOA+ 不太可能输出比最优解的一个分数 η* 更大的值。