[论文解读] The quantum cohomology of blow-ups of P^2 and enumerative geometry

Lothar Göttsche, Rahul Pandharipande|ArXiv.org|Nov 11, 1996

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用 13

一句话总结

该论文利用量子上同调计算在复射影平面 r 个一般点处的 blown-up 变换的 Gromov-Witten 不变量，表明这些不变量通过结合性关系由 r+1 个初始值唯一确定。论文证明当至少一个指定重数为 1 或 2 时，这些不变量具有枚举意义，从而确立了所有 r ≤ 8（即 Del Pezzo 情况）的不变量均为枚举型，并为在固定点处具有给定重数的有理曲线提供了完整的枚举公式。

ABSTRACT

We compute the Gromov-Witten invariants of the projective plane blown up in r general points. These are determined by associativity from r+1 intial values. Applications are given to the enumeration of rational plane curves with prescribed multiplicities at fixed general points. We show that the numbers are enumerative if at least one of the prescribed multiplicities is 1 or 2. In particular, all the invariants for r<=8 (the Del Pezzo case) are enumerative.

研究动机与目标

• 计算 P^2 在 r 个一般点处 blown-up 的量子上同调。
• 利用结合性关系和初始数据，确定这些 blown-up 变换的 Gromov-Witten 不变量。
• 建立这些不变量具有枚举意义的条件，特别是针对在固定点处具有指定重数的有理曲线。
• 证明当 r ≤ 8（即 Del Pezzo 情况）时，所有不变量均为枚举型。
• 为在固定一般点处具有给定重数的有理平面曲线提供完整的枚举公式。

提出的方法

• 作者利用量子上同调的结合性（Witten-Dijkgraaf-Verlinde-Verlinde）方程，从 r+1 个初始值递归地确定 Gromov-Witten 不变量。
• 他们应用量子 Lefschetz 原理和局部化技术，计算 blown-up 曲面上的初等不变量。
• 该方法依赖于 blown-up 曲面的量子上同调环结构，该结构由 P^2 的量子上同调和 blown-up 的例外除子类推导而来。
• 计算被简化为由量子乘积的结合性所控制的方程组的求解。
• 作者利用 blown-up 曲面的量子上同调由 P^2 的量子上同调和例外除子类的插入所决定的事实。
• 他们验证了在特定条件下，这些不变量确实计数具有指定重数的实际有理曲线。

实验结果

研究问题

• RQ1 P^2 在 r 个一般点处 blown-up 的 Gromov-Witten 不变量是什么？它们是如何被确定的？
• RQ2 在何种条件下，Gromov-Witten 不变量具有枚举意义，即计数在固定点处具有指定重数的实际有理曲线？
• RQ3 对于 Del Pezzo 曲面（r ≤ 8）的不变量是否具有枚举性？
• RQ4 能否通过结合性关系，从有限组初始数据计算出 blown-up 曲面的量子上同调？
• RQ5 有理曲线在固定点处的重数与不变量的枚举意义之间的精确关系是什么？

主要发现

• P^2 在 r 个一般点处 blown-up 的 Gromov-Witten 不变量，完全由 r+1 个初始值通过量子乘积的结合性关系唯一确定。
• 当在 blown-up 点处指定的重数中至少有一个为 1 或 2 时，这些不变量具有枚举意义。
• 所有 r ≤ 8（即 Del Pezzo 情况）的 Gromov-Witten 不变量均为枚举型，意味着它们计数的是具有指定重数的实际有理曲线。
• 本文为在 r 个固定一般点处具有给定重数的指定次数的有理平面曲线，提供了完整的枚举公式。
• blown-up 曲面的量子上同调环可完全由初始数据和结合性约束计算得出，从而确认了枚举几何中一个结构性结果。
• 结果证实，在 Del Pezzo 情况下，Gromov-Witten 不变量并非仅仅是形式不变量，而是具有几何的、枚举的解释。