[论文解读] The Quantum Complexity of Computing Schatten $p$-norms

Chris Cade, Ashley Montanaro|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 27被引用 11

一句话总结

本文研究了矩阵的Schatten p-范数的量子复杂度，表明对于对数局部的n-量子比特哈密顿量A和p = poly(n)的情况，当精度适中时，估计Tr(|A|p)属于单纯洁净量子比特模型（DQC1）；当需要更高精度时，该问题为DQC1难。该量子算法相较于经典方法实现了显著的速度提升，尤其在稀疏矩阵和幂律图上表现突出，对某些图类实现了精度的二次改进。

ABSTRACT

We consider the quantum complexity of computing Schatten p-norms and related quantities, and find that the problem of estimating these quantities is closely related to the one clean qubit model of computation. We show that the problem of approximating Tr(|A|^p) for a log-local n-qubit Hamiltonian A and p=poly(n), up to a suitable level of accuracy, is contained in DQC1; and that approximating this quantity up to a somewhat higher level of accuracy is DQC1-hard. In some cases the level of accuracy achieved by the quantum algorithm is substantially better than a natural classical algorithm for the problem. The same problem can be solved for arbitrary sparse matrices in BQP. One application of the algorithm is the approximate computation of the energy of a graph.

研究动机与目标

• 表征估计矩阵Schatten p-范数的量子计算复杂度。
• 确定Schatten p-范数估计与单洁净量子比特模型（DQC1）之间的关系。
• 探索估计谱量（如图能量）时的量子优势。
• 比较稀疏矩阵和幂律图上量子算法与经典方法的性能。

提出的方法

• 使用Lie-Trotter乘积公式模拟对数局部哈密顿量A的演化，并控制误差界。
• 应用Solovay-Kitaev定理将酉操作分解为通用门集，实现多项式时间开销。
• 利用DQC1模型估计由A导出的酉矩阵的归一化迹，从而实现Tr(|A|p)的估计。
• 利用f(x) = xp和g(x) = |x|p的Lipschitz连续性，界定谱函数估计中的近似误差。
• 通过受控酉操作和Hadamard测试，将Schatten p-范数估计问题约化为迹估计问题。
• 将该算法应用于估计图的能量，特别是通过关联邻接矩阵的最大特征值来实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些p值和矩阵类别，Schatten p-范数估计属于DQC1模型？
• RQ2 在计算复杂度方面，Schatten p-范数估计与单洁净量子比特模型之间存在何种关系？
• RQ3 对于稀疏矩阵，量子算法是否能在估计谱函数如Tr(|A|p)方面提供可证明的优势？
• RQ4 在估计图能量时，量子优势在多大程度上依赖于图的度分布，特别是幂律图？
• RQ5 在稀疏矩阵的范围内，该量子算法的精度与经典方法相比如何？

主要发现

• 当估计精度在某一阈值内时，对对数局部的n-量子比特哈密顿量A和p = poly(n)的Tr(|A|p)估计问题属于DQC1。
• 当需要更高精度时，该问题变为DQC1难，表明其捕获了单洁净量子比特模型的全部计算能力。
• 对于任意稀疏矩阵，Tr(|A|p)的估计问题属于BQP，展示了更广泛的量子优势。
• 对于幂律图（幂律指数β > 2.5），该量子算法在精度上相比经典算法实现了二次改进，尤其当最大度d相对于平均度足够大时。
• 对于β ∈ (2.5, 3)的幂律图，量子算法提供显著但非二次的优势；而当β < 2.5时，优势减弱。
• 该算法可高效近似计算图能量，且在稀疏和无标度网络中表现出有利的性能扩展性。