[论文解读] The quantum low-rank approximation problem

Nic Ezzell, Zoë Holmes+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2022

Sparse and Compressive Sensing Techniques被引用 4

一句话总结

本文将量子低秩近似问题（QLRAP）形式化为针对密度矩阵的问题，求解最优低秩量子态 $\sigma$，使其在希尔伯特-施密特距离或迹距离下与给定态 $\rho$ 的距离最小化。研究结果表明，希尔伯特-施密特距离可得到唯一最优解 $\sigma^* = \tau_R + N_R$，其中 $\tau_R$ 是 $\rho$ 在其 $R$ 个主分量上的投影，从而可通过变分优化在近期量子计算机上实现可靠的主成分分析（PCA）。

ABSTRACT

We consider a quantum version of the famous low-rank approximation problem. Specifically, we consider the distance $D(ρ,σ)$ between two normalized quantum states, $ρ$ and $σ$, where the rank of $σ$ is constrained to be at most $R$. For both the trace distance and Hilbert-Schmidt distance, we analytically solve for the optimal state $σ$ that minimizes this distance. For the Hilbert-Schmidt distance, the unique optimal state is $σ= τ_R +N_R$, where $τ_R = Π_R ρΠ_R$ is given by projecting $ρ$ onto its $R$ principal components with projector $Π_R$, and $N_R$ is a normalization factor given by $N_R = \frac{1- ext{Tr}(τ_R)}{R}Π_R$. For the trace distance, this state is also optimal but not uniquely optimal, and we provide the full set of states that are optimal. We briefly discuss how our results have application for performing principal component analysis (PCA) via variational optimization on quantum computers.

研究动机与目标

• 将量子低秩近似问题（QLRAP）形式化为最小化目标量子态 $\rho$ 与满足 $\rank(\sigma) \leq R$ 的低秩态 $\sigma$ 之间的距离。
• 分析在希尔伯特-施密特距离与迹距离两种度量下的最优解。
• 确定哪种距离度量能产生唯一且物理上有意义的解，适用于量子主成分分析（PCA）。
• 通过识别能可靠提取主成分的代价函数，使变分量子算法可用于PCA。

提出的方法

• 将QLRAP表述为在 $\rank(\sigma) \leq R$ 约束下最小化 $D_{HS}(\rho, \sigma) = \|\rho - \sigma\|_F^2$ 或 $D_{\operatorname{tr}}(\rho, \sigma) = \|\rho - \sigma\|_1$ 的问题。
• 利用谱分解解析推导最优 $\sigma^*$：$\sigma^* = \tau_R + N_R$，其中 $\tau_R = \Pi_R \rho \Pi_R$ 且 $N_R = \frac{1 - \Tr(\tau_R)}{R} \Pi_R$。
• 证明希尔伯特-施密特解唯一且保持特征值排序，而迹距离解存在退化性，可能不保持排序。
• 提出在变分量子算法中使用希尔伯特-施密特距离作为代价函数，通过优化提取主成分。
• 利用破坏性SWAP测试在量子硬件上高效估计 $D_{HS}(\rho, \sigma)$，测量 $\Tr(\rho^2)$、$\Tr(\sigma^2)$ 和 $\Tr(\rho\sigma)$。
• 设计变分电路，通过制备 $\sigma$ 的纯化态或使用经典随机性制备其特征向量，实现在优化后提取主成分。

实验结果

研究问题

• RQ1 在秩约束 $\rank(\sigma) \leq R$ 下，使希尔伯特-施密特距离最小化的最优低秩量子态 $\sigma$ 是什么？
• RQ2 当使用迹距离而非希尔伯特-施密特距离时，量子低秩近似问题的解有何不同？
• RQ3 希尔伯特-施密特距离能否作为变分量子算法中用于量子主成分分析（PCA）的可靠代价函数？
• RQ4 最优解是否保持原始态 $\rho$ 的特征值排序？这对PCA为何重要？
• RQ5 迹距离情况下解的退化性对量子数据压缩与量子机器学习有何影响？

主要发现

• 最小化希尔伯特-施密特距离的最优态唯一表示为 $\sigma^* = \tau_R + N_R$，其中 $\tau_R = \Pi_R \rho \Pi_R$ 是 $\rho$ 在其 $R$ 个最大特征模态上的投影。
• 希尔伯特-施密特解保持了 $\rho$ 的特征值排序，确保主成分被正确识别。
• 迹距离解不唯一；存在一个退化的解族可达到最小距离，可能导致特征值排序错误。
• 由于其唯一且有序的解以及可在量子硬件上高效估计，希尔伯特-施密特距离比迹距离更适合用于量子PCA。
• 最优态 $\sigma^*$ 可通过基于 $D_{HS}(\rho, \sigma)$ 的代价函数在近期量子硬件上变分制备，实现资源高效的PCA。
• 该解可通过对高秩 $\rho$ 用低秩 $\sigma^*$ 进行近似，实现量子态的高效压缩，从而降低量子比特与线路资源需求。