[论文解读] The quantum measurement process: an exactly solvable model

A. E. Allahverdyan, R. Balian+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2003

Quantum Mechanics and Applications参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文提出了一种量子测量的精确可解模型，统一了量子与经典测量过程。它表明波函数坍缩分为两个阶段：由于系统-测量仪耦合导致的快速幺正演化（时间尺度为 $1/\sqrt{N}$），随后是通过热浴引起的退相干（时间尺度 $\tau_{\rm reg} \gg \hbar/T$），最终形成经典对角密度矩阵。其主要贡献是基于统计诠释的量子力学，动态推导出波函数坍缩，排除了多种竞争性诠释。

ABSTRACT

An exactly solvable model for a quantum measurement is discussed, that integrates quantum measurements with classical measurements. The z-component of a spin-1/2 test spin is measured with an apparatus, that itself consists of magnet of N spin-1/2 particles, coupled to a bath. The initial state of the magnet is a metastable paramagnet, while the bath starts in a thermal, gibbsian state. Conditions are such that the act of measurement drives the magnet in the up or down ferromagnetic state, according to the sign of s_z of the test spin. The quantum measurement goes in two steps. On a timescale 1/\sqrt{N} the collapse takes place due to a unitary evolution of test spin and apparatus spins; on a larger but still short timescale this collapse is made definite by the bath. Then the system is in a `classical' state, having a diagonal density matrix. The registration of that state is basically a classical process, that can already be understood from classical statistical mechanics.

研究动机与目标

• 通过提供量子与经典测量的动态统一描述，解决量子力学中的基础性测量问题。
• 证明波函数坍缩自然源于量子系统与宏观测量仪及热浴的相互作用，无需预先假定坍缩。
• 表明测量仪的最终状态为经典对角密度矩阵，使记录过程成为经典统计过程。
• 检验并排除量子力学的其他诠释，如多世界诠释、德布罗意-玻姆力学及自发坍缩模型。
• 确立量子力学的统计诠释足以描述测量结果，无需对单个系统引入纯态假设。

提出的方法

• 该模型使用自旋-1/2测试系统，通过相互作用哈密顿量 $-g s_z \sum \sigma_z^{(n)}$ 与包含 $N$ 个自旋-1/2粒子的磁体耦合。
• 磁体通过四次相互作用 $H_M = -\frac{J}{4N^3} \sum_{ijkl} \sigma_z^{(i)}\sigma_z^{(j)}\sigma_z^{(k)}\sigma_z^{(l)}$ 建模，诱导一级相变至铁磁态。
• 测量仪初始处于亚稳态顺磁态（$m=0$），在 $T < T_c$ 时存在自由能垒以抑制磁化。
• 在 $t=0$ 时开启耦合 $g$，该耦合使 $s_z = \pm 1$ 时的自由能垒被抑制，驱动磁体进入 $m = \pm m_c$ 态。
• 浴初始处于吉布斯态，其在更长的时间尺度 $\tau_{\rm reg}$ 上诱导退相干，使最终态在指针基下对角化。
• 最终态为统计混合态：$D(t_f) = p_\uparrow |\uparrow\rangle\langle\uparrow| \otimes \rho_\uparrow^{(1)} \otimes \cdots \otimes \rho_\uparrow^{(N)} + p_\downarrow |\downarrow\rangle\langle\downarrow| \otimes \rho_\downarrow^{(1)} \otimes \cdots \otimes \rho_\downarrow^{(N)}$，其中 $\rho_\uparrow^{(n)} = \frac{1}{2} \text{diag}(1+m_\uparrow, 1-m_\uparrow)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不假定波函数坍缩的前提下，动态描述量子测量过程？
• RQ2 测量仪及其与浴的耦合在实现确定测量结果中起什么作用？
• RQ3 能否从幺正演化与退相干中推导出从量子叠加到经典确定结果的转变？
• RQ4 量子力学的统计诠释是否足以描述测量结果，还是需要额外假设（如自发坍缩）？
• RQ5 哪些量子力学诠释与该模型的动力学不相容？

主要发现

• 波函数坍缩的时间尺度为 $\tau_{\rm collapse} \sim 1/\sqrt{N}$，当 $N$ 较大时变得极短，与冯·诺依曼假定一致。
• 浴诱导的退相干在时间尺度 $\tau_{\rm reg} \gg \hbar/T$ 上稳定系统于对角密度矩阵，使结果成为经典且不可逆。
• 当 $s_z = +1$ 时，若 $g > g_c \approx 0.09035\,J$，耦合 $g$ 会抑制 $m = 0.7$ 附近的自由能垒，驱动磁体进入 $m = m_\uparrow$ 态。
• 最终态为指针态的统计混合，概率分别为 $p_\uparrow$ 和 $p_\downarrow$，与量子力学的统计诠释一致。
• 该模型排除了多世界诠释、意识-身体坍缩或自发定域化等诠释，因这些机制在模型中均非必需。
• 测量仪最终处于稳定热力学态，$m = \pm m_c$，且结果与是否被观测无关。