[论文解读] The quasi-Hopf analogue of $u_q(sl_2)$

Gongxiang Liu|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文构建了 Lusztig 的小量子群 $\mathbf{u}_q(\mathfrak{sl}_2)$ 的拟霍普夫类比，记为 $\operatorname{Q}_s\mathbf{u}_q(\mathfrak{sl}_2)$，作为拟霍普夫代数 $A(n,s,q)$ 的 Drinfeld 双代数，该代数推广了 Taft 代数。关键结果是当 $n$ 为偶数且 $s$ 为奇数时，该双代数不与任何霍普夫代数扭曲等价，从而确立了一个真正的非半单、拟三角的拟霍普夫代数，与 $\mathbf{u}_q(\mathfrak{sl}_2)$ 不同。

ABSTRACT

In [4], some quasi-Hopf algebras of dimension $n^{3}$, which can be understood as the quasi-Hopf analogues of Taft algebras, are constructed. Moreover, the quasi-Hopf analogues of generalized Taft algebras are considered in [7], where the language of the dual of a quasi-Hopf algebra is used. The Drinfeld doubles of such quasi-Hopf algebras are computed in this paper. The authors in [5] shew that the Drinfeld double of a quasi-Hopf algebra of dimension $n^{3}$ constructed in [4] is always twist equivalent to Lusztig's small quantum group $u_q(sl_2)$ if $n$ is odd. Based on computations and analysis, we show that this is \emph{not} the case if $n$ is even. That is, the quasi-Hopf analogue $Qu_q(sl_2)$ of $u_q(sl_2)$ is gotten.

研究动机与目标

• 通过拟霍普夫代数的 Drinfeld 双代数构造 $\mathbf{u}_q(\mathfrak{sl}_2)$ 的拟霍普夫类比。
• 确定广义 Taft 代数的拟霍普夫类比的 Drinfeld 双代数是否与霍普夫代数扭曲等价。
• 确定使所得拟霍普夫代数真正非霍普夫（即不与任何霍普夫代数扭曲等价）的条件。
• 提供一类新的有限维非半单、拟三角的拟霍普夫代数，作为 $\mathbf{u}_q(\mathfrak{sl}_2)$ 的非平凡推广。

提出的方法

• 构造拟霍普夫代数 $A(n,s,q)$ 的 Drinfeld 双代数 $D(A(n,s,q))$，该代数是广义化 Taft 代数的拟霍普夫类比。
• 在第 2 节中，通过生成元与关系定义新的拟霍普夫代数 $\operatorname{Q}_s\mathbf{u}_q(\mathfrak{sl}_2)$，使用 Drinfeld 双代数构造。
• 使用 $\operatorname{Q}_s\mathbf{u}_q(\mathfrak{sl}_2)$ 的一维表示 $X$ 生成一个子张量范畴 $\langle X \rangle$，其同构于 $\mathbb{Z}_{2s}$ 的表示范畴。
• 利用群上同调分析 $\langle X \rangle$ 上的重结合子 $\phi_s$ 的限制，证明其是 $\mathbb{Z}_{2s}$ 上的非平凡 3-上循环。
• 证明 $\mathbb{Z}_{2s}$ 上的 3-上循环 $f(g_{2s}^i, g_{2s}^j, g_{2s}^k) = (-1)^{i[\frac{j+k}{2s}]}$ 不是 3-上边界，从而证明结合子的非平凡性。
• 应用 Tannaka-Krein 对偶性，证明若 $\operatorname{Q}_s\mathbf{u}_q(\mathfrak{sl}_2)$ 与霍普夫代数扭曲等价，则重结合子应为 3-上边界，导致矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义 Taft 代数的拟霍普夫类比的 Drinfeld 双代数是否与霍普夫代数扭曲等价？
• RQ2 在什么 $n$ 和 $s$ 条件下，所得拟霍普夫代数不与任何霍普夫代数扭曲等价？
• RQ3 能否构造一个真正的、不与原始霍普夫代数扭曲等价的 $\mathbf{u}_q(\mathfrak{sl}_2)$ 的拟霍普夫类比？
• RQ4 Drinfeld 双代数的表示理论如何反映拟霍普夫设定中结合子的非平凡性？
• RQ5 群上同调在检测张量范畴中重结合子非平凡性方面起什么作用？

主要发现

• Drinfeld 双代数 $D(A(n,s,q))$ 作为拟霍普夫代数，同构于拟霍普夫代数 $\operatorname{Q}_s\mathbf{u}_q(\mathfrak{sl}_2)$。
• 当 $n = 2^m l$ 且 $s = 2^{m'} l'$，满足 $(l,2) = (l',2) = 1$ 且 $m' < m$ 时，双代数 $D(A(n,s,q))$ 不与任何霍普夫代数扭曲等价。
• 特别地，若 $n$ 为偶数且 $s$ 为奇数，则 $D(A(n,s,q))$ 不与霍普夫代数扭曲等价，从而确立了一个非平凡的拟霍普夫类比。
• $\mathbb{Z}_{2s}$ 上的 3-上循环 $f(g_{2s}^i, g_{2s}^j, g_{2s}^k) = (-1)^{i[\frac{j+k}{2s}]}$ 不是 3-上边界，证明了子张量范畴 $\langle X \rangle$ 中重结合子的非平凡性。
• 由 $g_1 \mapsto -1$，$g_2 \mapsto (-1)^{1/s}$，$x,y \mapsto 0$ 定义的表示 $X$ 生成的子张量范畴，其结合子障碍证明了非扭曲等价性。
• 结果确认，当 $n$ 为偶数时，拟霍普夫类比 $\operatorname{Q}_1\mathbf{u}_q(\mathfrak{sl}_2)$ 不与霍普夫代数扭曲等价，提供了一个新的非半单、拟三角的拟霍普夫代数的例子。