[论文解读] THE QUASIEQUATIONAL THEORY OF RELATIONAL LATTICES, IN THE PURE LATTICE SIGNATURE

Luigi Santocanale|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2016

Advanced Algebra and Logic参考文献 13被引用 2

一句话总结

本文通过将问题约化为有限的不可约性不可约格（subdirectly-irreducible lattices）嵌入关系格（relational lattices）的问题，证明了在纯格符号（pure lattice signature）——不包含头标量（header constants）——下，关系格的拟等式理论（quasiequational theory）是不可判定的。该结果表明，拟等式理论不存在有限基，并且存在一个在所有有限格中成立但在某些无限关系格中不成立的拟等式。

ABSTRACT

The natural join and the inner union operations combine relations in a database. Tropashko and Spight realized that these two operations are the meet and join operations in a class of lattices, known by now as the relational lattices. They proposed then lattice theory as an algebraic approach, alternative to the relational algebra, to the theory of databases. Litak et al. proposed an axiomatization in the signature extending the pure lattice signature with the header constant. They argued then that the quasiequational theory of relational lattices is undecidable in this extended signature. We refine this result by showing that the quasiequational theory of relational lattices in the pure lattice signature is undecidable as well. We obtain this result as a consequence of the following statement: it is undecidable whether a finite subdirectly-irreducible lattice can be embedded into a relational lattice. Our proof of this statement is a reduction from a similar problem for relation algebras and from the coverability problem of a frame by a universal product frame. As corollaries, we also obtain the following results: the quasiequational theory of relational lattices has no finite base; there is a quasiequation which holds in all the finite lattices but fails in an infinite relational lattice.

研究动机与目标

• 研究在不包含头标量的纯格符号下，关系格的拟等式理论的可判定性。
• 确定有限的不可约性不可约格是否可以嵌入到关系格中。
• 建立一个在所有有限格中成立但在某些无限关系格中不成立的拟等式的存在性。
• 证明关系格的拟等式理论不存在有限基。

提出的方法

• 从有限不可约性不可约格嵌入到关系格的问题进行约化。
• 利用关系代数中已知的不可判定性结果，以建立在纯格符号下的不可判定性。
• 使用框架被普遍积框架覆盖的问题作为约化中的关键中间步骤。
• 构建保持格论与关系代数领域之间拟等式结论的逻辑约化。
• 应用模型论技术分析关系格及其子格的结构。
• 证明即使不包含头标量，不可判定性依然存在，从而对扩展符号中的先前结果进行了细化。

实验结果

研究问题

• RQ1 在纯格符号下，关系格的拟等式理论是否不可判定？
• RQ2 每个有限不可约性不可约格是否都能嵌入到某个关系格中？
• RQ3 关系格的拟等式理论是否允许有限公理化？
• RQ4 是否存在一个拟等式在所有有限格中成立，但在某个无限关系格中不成立？
• RQ5 框架覆盖性与格嵌入到关系格之间存在何种关系？

主要发现

• 在纯格符号下，关系格的拟等式理论是不可判定的，即使不包含头标量。
• 判断一个有限不可约性不可约格是否能嵌入到关系格中，是不可判定的。
• 关系格的拟等式理论没有有限基，即不存在有限的拟等式集合可以公理化该理论。
• 存在一个特定的拟等式，它在所有有限格中成立，但在某些无限关系格中不成立。
• 不可判定性结果是通过从关系代数和框架覆盖问题中的不可判定问题进行约化而建立的。
• 该证明表明，即使将符号最小化为仅包含交和并运算，关系格的复杂性依然存在。