[论文解读] The Queue-Hawkes Process: Ephemeral Self-Excitement

Andrew Daw, Jamol Pender|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2018

Point processes and geometric inequalities被引用 8

一句话总结

本文提出了队列-霍克斯过程（Queue-Hawkes process），一种自激活性点过程，其到达强度随队列长度上升而增加，服务完成后衰减，且激励具有瞬时性——仅在实体存在于系统期间持续。主要贡献包括：通过矩生成函数推导出流体极限与扩散极限，证明批量缩放后的仿射队列-霍克斯过程收敛于霍克斯过程，以及利用新颖的矩阵结构实现所有矩的精确计算。

ABSTRACT

In this paper we consider a self-exciting model that couples a Hawkes process and a queueing system which we call the Queue-Hawkes process. In this process the intensity responds to the queue: increasing at arrivals, dropping upon departures, and decaying between. Hence the influence of each arrival is ephemeral, as the excitement only lasts for the duration of the entity's time in system. We study this process both individually and by comparison to other processes, primarily the Hawkes process and the Affine Queue-Hawkes process, which we define as the zero-decay case of the Queue-Hawkes. Our results include showing that a batch-scaling of the Affine Queue-Hawkes process will converge to the Hawkes process. We also prove a strong law of large numbers for the non-identical and dependent inter-arrival times of the Queue-Hawkes, Hawkes, and Affine Queue-Hawkes processes. Additionally, we provide all moments of the Hawkes process and the Affine Queue-Hawkes process via a novel matrix structure. Finally, we prove fluid and diffusion limits for the Queue-Hawkes process using moment generating function techniques.

研究动机与目标

• 建模排队系统中的自激励现象，其中到达强度取决于当前队列长度，并在服务完成后衰减。
• 分析一种新型点过程——队列-霍 Hawkes过程——的动态，其激励具有瞬时性且与系统时间相关。
• 利用矩生成函数技术，为队列-霍克斯过程建立极限定理（流体与扩散）。
• 将队列-霍克斯过程与经典霍克斯过程及仿射队列-霍克斯过程（零衰减极限）进行比较。
• 利用新颖的矩阵结构，推导霍克斯过程与仿射队列-霍克斯过程的所有矩的精确表达式。

提出的方法

• 提出队列-霍克斯过程作为霍克斯过程与排队系统的耦合，其中强度在到达时增加，离开时下降，并在两者之间呈指数衰减。
• 将仿射队列-霍克斯过程定义为队列-霍克斯过程的零衰减极限，作为比较的基准。
• 应用矩生成函数技术，推导队列-霍克斯过程的流体与扩散极限。
• 引入一种新颖的矩阵结构，以计算霍克斯过程与仿射队列-霍克斯过程的所有矩。
• 使用批量缩放技术，证明在极限下，仿射队列-霍克斯过程收敛于经典霍克斯过程。
• 为所有三种过程的非独立同分布及依赖的到达间隔时间，建立了大数定律的强形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 队列-霍克斯过程在流体与扩散缩放下如何表现？其极限行为是什么？
• RQ2 在批量缩放下，仿射队列-霍克斯过程与经典霍克斯过程之间存在何种关系？
• RQ3 霍克斯过程与仿射队列-霍克斯过程的所有矩是否可以被精确计算？如果是，通过何种结构化方法？
• RQ4 非独立同分布及依赖的到达间隔时间如何影响队列-霍克斯过程的长期行为？
• RQ5 队列-霍克斯过程中的瞬时激励起何作用？与霍克斯过程中的持续激励有何不同？

主要发现

• 通过矩生成函数技术，推导出队列-霍克斯过程的流体与扩散极限，确立了其在缩放下渐近行为的理论基础。
• 仿射队列-霍克斯过程的批量缩放收敛于经典霍克斯过程，揭示了两者之间的极限关系。
• 利用新颖的矩阵结构，精确计算了霍克斯过程与仿射队列-霍克斯过程的所有矩，实现了完整的矩表征。
• 即使在非独立同分布及依赖条件下，也为队列-霍克斯、霍克斯与仿射队列-霍克斯过程的到达间隔时间证明了大数定律的强形式。
• 队列-霍克斯过程表现出瞬时自激励，其强度激励恰好在实体停留于系统的时间内衰减，从而与持续激励模型形成鲜明区别。