[论文解读] The R- and L-orders of the Thompson-Higman monoid M_{k,1} and their complexity

Jean-Camille Birget|ArXiv.org|Dec 23, 2008

Rings, Modules, and Algebras参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文刻画了Thompson-Higman半群 $M_{k,1}$ 的 R- 和 L-序，表明它们是稠密的且计算复杂度较高。在电路型生成集下，R-序决策问题为 $Π_2^P$-完全，L-序为 coNP-完全，将半群理论与电路复杂度紧密联系，并给出了紧致的复杂度界。

ABSTRACT

We study the monoid generalization M_{k,1} of the Thompson-Higman groups, and we characterize the R- and the L-preorder of M_{k,1}. Although M_{k,1} has only one non-zero J-class and k-1 non-zero D-classes, the R- and the L-preorder are complicated; in particular,

研究动机与目标

• 刻画Thompson-Higman半群 $M_{k,1}$ 的 R- 和 L-序，该半群是Thompson群的推广。
• 分析当输入以有限或电路型生成集中的字给出时，判定这些序的计算复杂度。
• 为 R- 和 L-序决策问题建立紧致的复杂度界，将半群理论与电路复杂度联系起来。
• 证明右乘子和右逆元无法在多项式时间内有界，除非多项式层次坍缩。
• 将 $M_{k,1}$ 中的 L-序与组合电路中的单射性和恒等性问题联系起来，证明其为 coNP-完全。

提出的方法

• 通过 $M_{k,1}$ 元素在康托空间 $A^\omega$ 上的作用及其在 $A^*$ 中有限字上的限制，刻画 R- 和 L-序。
• 论文使用了‘部分’（part）的概念，通过域编码和划分粗化来定义，以刻画 L-序。
• 通过将已知难题归约来推导复杂度界：将永真性归约至单射性，再将单射性归约至 L-序决策问题。
• 证明利用了域编码和有界长度字上函数值的多项式时间可计算性，从而实现 coNP 成员性。
• 采用电路型生成集 $Γ \cup \tau$，其中 $τ$ 由位置置换组成，使得组合电路可直接编码为 $M_{k,1}$ 中的字。
• 应用电路复杂度中的归约技术：证明组合电路的单射性和恒等性问题为 coNP-完全，并用于证明 L-序的难解性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $M_{k,1}$ 中，R- 和 L-序的结构如何？它们与更简单的 J- 和 D- 关系有何不同？
• RQ2 当输入以有限生成集中的字给出时，判定 R- 和 L-序的计算复杂度是多少？
• RQ3 当使用能编码组合电路的电路型生成集时，复杂度如何变化？
• RQ4 R-序关系的右乘子或 $M_{k,1}$ 中满射元素的右逆元能否在大小上被多项式有界？其复杂度理论后果是什么？
• RQ5 $M_{k,1}$ 中的 L-序与组合电路中的单射性/恒等性问题之间有何关系？

主要发现

• $M_{k,1}$ 的 R-序是稠密的，甚至在单个 L-类内部也是稠密的，而 L-序在 R-类内部也是稠密的。
• 在有限生成集下，R- 和 L-序决策问题均属于 P。
• 在电路型生成集下，R-序决策问题为 $Π_2^P$-完全。
• 在电路型生成集下，L-序决策问题为 coNP-完全。
• 无环布尔电路的单射性和恒等性问题为 coNP-完全。
• 除非多项式层次坍缩，否则 $M_{k,1}$ 中 R-序关系的右乘子和满射元素的右逆元无法在大小上被多项式有界。