[论文解读] The radial breathing mode in CNT - the nonlinear theory of the resonant energy exchange

В. В. Смирнов, Leonid I. Manevitch+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2015

Mechanical and Optical Resonators被引用 4

一句话总结

本文提出了一套非线性理论，通过径向呼吸模（RBM）解释碳纳米管（CNTs）中长时间的共振能量交换，该理论基于薄壳理论推导出的改进非线性薛定谔方程。研究显示，在宽广的能量范围内实现了稳定的能量交换，数值积分结果验证了分析预测，揭示了强梯度非线性性虽导致模态失稳，却仍能防止能量局域化。

ABSTRACT

We demonstrate the new specific phenomenon of the long-time resonant energy exchange in the carbon nanotubes (CNTs) with the radial breathing mode as a carrier. This process turns out to be stable in the wide range of the excitation energy. It is shown that the modified nonlinear Schrödinger equation, obtained in the framework of nonlinear elastic thin shell theory, describes the CNT nonlinear dynamics in the considered frequency band. The numerical integration of the thin shell theory equations confirms the results of the analytical study.

研究动机与目标

• 研究由径向呼吸模（RBM）驱动的碳纳米管（CNTs）中的共振能量交换。
• 构建一个非线性动力学框架，以描述具有近似频率的正则模态在CNTs中长时间的能量交换。
• 分析几何与材料非线性在RBM主导系统中稳定能量交换过程的作用。
• 通过在不同长径比和激励振幅下对Sanders-Koiter薄壳方程进行数值积分，验证分析结果。

提出的方法

• 从CNTs在径向呼吸频率带内的非线性弹性薄壳理论中推导出改进的非线性薛定谔方程（mNLS）。
• 应用Ritz法，利用切比雪夫多项式双级数展开近似特征函数与固有频率。
• 通过线性化特征函数对位移场进行重展开，利用拉格朗日方程推导出一组非线性常微分方程。
• 采用高精度自适应步长的隐式龙格-库塔法求解所得非线性ODE。
• 应用极限相轨迹（LPT）概念描述共振非线性正则模（NNMs）之间的最大能量交换。
• 通过比较数值结果与mNLS方程及LPT方法所得能量交换周期，验证分析预测，涵盖不同CNT长径比。

实验结果

研究问题

• RQ1 当径向呼吸模被激发时，尽管存在强非线性，碳纳米管中是否仍能发生长时间的共振能量交换？
• RQ2 改进的非线性薛定谔方程如何描述碳纳米管中径向呼吸模的动力学行为？
• RQ3 几何非线性在稳定能量交换并防止RBM中能量局域化方面起什么作用？
• RQ4 不同碳纳米管长径比如何影响共振能量交换的稳定性和周期？
• RQ5 极限相轨迹（LPT）概念在RBM系统中对能量交换动力学的预测准确程度如何？

主要发现

• 在碳纳米管中，径向呼吸模在宽广的激励能量范围内支持稳定且长时间的共振能量交换，与能量局域化的预期相反。
• 改进的非线性薛定谔方程能准确描述所考虑频率带内RBM的非线性动力学行为。
• 对Sanders-Koiter薄壳方程的数值积分验证了分析预测的能量交换周期，其结果与LPT理论表达式一致。
• 对于长径比L/R ≥ 20的碳纳米管，多个模态可参与共振条件，表明高阶模态耦合的重要性。
• 径向方向存在的强梯度非线性性可防止能量局域化，使RBM区别于其他振动模态（如周向弯曲模）。
• 能量交换过程在不同长径比（L/R = 20, 40, 80）下均表现鲁棒性，且交换周期与理论预测在宽广初始振幅范围内一致。