[论文解读] The Radon transform and the Hough transform: a unifying perspective

Riccardo Aramini, Fabrice Delbary+3 more|arXiv (Cornell University)|May 30, 2016

Image and Object Detection Techniques参考文献 29被引用 3

一句话总结

本文通过证明在适当条件下，离散化的霍夫散射图在参数空间离散化步长趋于零时收敛于连续的拉东散射图，建立了拉东变换与霍夫变换之间的理论统一。其主要贡献在于提供了一个严格的数学框架，表明基于霍夫变换的模式识别可被视为连续拉东变换的离散近似，对图像重建和反问题中的正则化具有重要意义。

ABSTRACT

The Radon transform is a linear integral transform that mimics the data formation process in medical imaging modalities like X-ray Computerized Tomography and Positron Emission Tomography. The Hough transform is a pattern recognition technique, which is mainly used to detect straight lines in digital images and which has been recently extended to the automatic recognition of algebraic plane curves. Although defined in very different ways, in numerical applications both transforms ultimately take an image as an input and provide, as an output, a function defined on a parameter space. The parameters in this space describe a family of curves, which represent either the integration domains considered in the (generalized) Radon transform, or the curves to be detected by means of the Hough transform. In both cases, the 2D plot of the intensity values of the output function is the so-called (Radon or Hough) sinogram. While the Hough sinogram is produced by an algorithm whose implementation requires that the parameter space be discretized in cells, the Radon sinogram is mathematically defined on a continuous parameter space, which in turn may need to be discretized just for physical or numerical reasons. In this paper, by considering a more general and n-dimensional setting, we prove that, whether the input image is described as a set of points (possibly with different intensity values) or as a piecewise constant function, its (rescaled) Hough sinogram converges to the corresponding Radon sinogram as the discretization step in the parameter space tends to zero. We also show that this result may have a notable impact on the image reconstruction problem of inverting the Radon sinogram recorded by a medical imaging scanner, and that the description of the Hough transform problem within the framework of regularization theory for inverse problems is worth investigating.

研究动机与目标

• 建立拉东变换与霍夫变换之间的理论联系，二者传统上被视为独立的数学工具。
• 研究当参数空间离散化步长趋于零时，离散霍夫变换散射图收敛于连续拉东变换散射图的性质。
• 探讨该收敛性对医学成像中图像重建的影响，特别是在反问题和正则化理论背景下的意义。
• 为代数曲线和参数空间积分背景下霍夫变换提供严格的数学基础。

提出的方法

• 作者考虑一个一般的n维设定，其中两种变换作用于以点集或分段常数函数表示的图像。
• 他们将霍夫变换定义为在离散化参数空间上的离散累加函数，每个单元格统计来自图像点的投票数。
• 拉东变换被表述为对函数 f(x;λ) 的等值线的连续积分，使用狄拉克δ函数将积分限制在曲线 f(x;λ) = 0 上。
• 使用单位分解来局部参数化等值线，从而将拉东积分转化为局部参数化上的积分之和。
• 通过利用 f 的梯度有界性和相关函数的光滑性，基于局部邻域上积分的一致收敛性，建立了拉东变换在参数空间中的连续性。
• 通过证明离散和在离散化步长趋于零的极限下逼近连续积分，证明了霍夫散射图向拉东散射图的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当参数空间的离散化步长趋于零时，霍夫变换散射图是否收敛于拉东变换散射图？
• RQ2 霍夫变换能否在一般n维设定下被正式解释为连续拉东变换的离散近似？
• RQ3 在何种泛函分析条件下，霍夫变换的输出收敛于拉东变换的输出？
• RQ4 这种收敛性如何影响医学成像应用中散射图的数值反演？
• RQ5 霍夫变换问题能否在反问题正则化理论框架内被有意义地表述？

主要发现

• 在曲线和图像函数具有适度正则性条件的前提下，当参数空间的离散化步长趋于零时，霍夫散射图收敛于拉东散射图。
• 证明了拉东变换在参数空间中是连续的，这支持其稳定性和数值反演的适用性。
• 该收敛结果对基于点和分段常数图像表示均成立，扩展了该框架的有效性。
• 证明依赖于使用隐函数定理对等值线进行局部参数化，并使用单位分解以确保光滑性和可积性。
• 该结果意味着基于霍夫变换的检测方法可被解释为连续反拉东问题的正则化、离散近似。
• 该框架为将正则化理论应用于霍夫变换问题开辟了新途径，尤其在噪声或数据不完整的情况下。