[论文解读] The Ramanujan Machine: Automatically Generated Conjectures on Fundamental Constants

Gal Raayoni, Gottlieb, Shahar+7 more|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2019

Advanced Mathematical Identities参考文献 65被引用 20

一句话总结

本文介紹了拉馬努金機器（Ramanujan Machine），這是一套計算框架，利用演算法自動生成基本數學常數（如 π、e 和 ζ(3)）的連分數形式猜想。透過針對多項式連分數設計的「對撞中間」（Meet-In-The-Middle）與梯度下降（Gradient Descent）方法，該方法發現了數十個新的恆等式，包括 π 和 e 的先前未知表達式，其中部分後續利用超幾何函數恆等式獲得證明。

ABSTRACT

Fundamental mathematical constants like $e$ and $π$ are ubiquitous in diverse fields of science, from abstract mathematics to physics, biology and chemistry. For centuries, new formulas relating fundamental constants have been scarce and usually discovered sporadically. Here we propose a novel and systematic approach that leverages algorithms for deriving mathematical formulas for fundamental constants and help reveal their underlying structure. Our algorithms find dozens of well-known as well as previously unknown continued fraction representations of $π$, $e$, Catalan's constant, and values of the Riemann zeta function. Two example conjectures found by our algorithm and so far unproven are: \begin{equation*} \frac{24}{π^2} = 2 + 7\cdot 0\cdot 1+ \frac{8\cdot1^4}{2 + 7\cdot 1\cdot 2 + \frac{8\cdot2^4}{2 + 7\cdot 2\cdot 3 + \frac{8\cdot3^4}{2 + 7\cdot 3\cdot 4 + \frac{8\cdot4^4}{..}}}} \quad\quad,\quad\quad \frac{8}{7 ζ(3)} = 1\cdot 1 - \frac{1^6}{3\cdot 7 - \frac{2^6}{5\cdot 19 - \frac{3^6}{7\cdot 37 - \frac{4^6}{..}}}} \end{equation*} We present two algorithms that proved useful in finding conjectures: a Meet-In-The-Middle (MITM) algorithm and a Gradient Descent (GD) tailored to the recurrent structure of continued fractions. Both algorithms are based on matching numerical values and thus they conjecture formulas without providing proofs and without requiring prior knowledge on any underlying mathematical structure. This approach is especially attractive for constants for which no mathematical structure is known, as it reverses the conventional approach of sequential logic in formal proofs. Instead, our work supports a different approach for research: algorithms utilizing numerical data to unveil mathematical structures, thus trying to play the role of intuition of great mathematicians of the past, providing leads to new mathematical research.

研究动机与目标

• 開發一種系統化、演算法化的方法，用於發現涉及基本常數的新數學公式，這些公式傳統上僅能透過極為稀少的數學直覺獲得。
• 透過數值資料匹配自動化發現過程，解決 π、e 和卡塔蘭常數等基本常數新公式稀缺的問題。
• 逆轉傳統的「先證明後發現」模式，利用計算演算法生成可後續證明的猜想，模擬拉馬努jan等歷史數學家的直覺發現過程。
• 探討機器學習與數值計算在揭示普遍常數中隱藏數學結構方面的潛力。
• 提供一個公開可存取的平台，讓研究人員可探索並驗證針對基本常數生成的新猜想。

提出的方法

• 該方法採用「對撞中間」（Meet-In-The-Middle, MITM）演算法的變體，透過匹配常數的數值與候選表達式，高效搜尋連分數恆等式。
• 使用自訂的梯度下降（Gradient Descent, GD）演算法，優化多項式連分數（Polynomial Continued Fractions, PCFs）的參數，利用其遞迴結構提升收斂性與準確性。
• 演算法在不依賴底層數學結構先驗知識的情況下，將基本常數的高精度數值與候選 PCF 表達式進行匹配。
• 搜尋範圍受限於部分分子與分母中多項式係數為整數，以確保計算可行性與美學簡潔性。
• 透過測試給定的 PCF 表達式是否在指定數值容忍度內收斂至已知常數，來生成猜想。
• 已證明的恆等式透過已知的超幾何函數恆等式及特殊函數（如 Lerch 轉移函數與 Gamma 函數）進行驗證。

实验结果

研究问题

• RQ1 自動化演算法能否發現基本數學常數（如 π、e 和 ζ(3)）的新連分數表示？
• RQ2 數值模式搜尋在推導新公式時，能在多大程度上取代或補充傳統的數學直覺？
• RQ3 是否存在系統化的演算法方法，可為無已知閉式結構的常數生成猜想？
• RQ4 能否利用已知的特殊函數恆等式，系統性地證明機器生成的猜想？
• RQ5 演算法發現在此類數論與數學物理研究中扮演何種角色？

主要发现

• 拉馬努金機器發現了數十個基本常數的新連分數表示，包括 π、e、卡塔蘭常數與 ζ(3) 的先前未知公式。
• 兩項猜想後續利用超幾何函數恆等式獲得證明：一項針對 e/(e−2)，另一項針對 4/(3π−8)，兩者皆涉及多項式連分數。
• 演算法成功生成恆等式：24/π² = 2 + Σ(8n⁴)/(2 + 7n(n+1)) 的連分數形式，該恆等式至今尚未證明。
• 另一項未證明的猜想將 8/(7ζ(3)) 與含 n⁶ 項與二次分母的連分數連結，暗示深層的數論結構。
• 該方法成功生成 2^{2z+1}/(π·binomial(2z,z)) 的連分數形式猜想，其係數為多項式，後續利用超幾何恆等式獲得證明。
• 該框架顯示，演算法搜尋不僅能發現數學上優美且可能對數論與分析具有實用價值的恆等式。