[论文解读] The Ramanujan Property for Simplicial Complexes

Uriya A. First|arXiv (Cornell University)|May 9, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 46被引用 11

一句话总结

本文提出了一种统一框架，用于在高维单纯复形中定义 Ramanujan 性质，通过仿射建筑物的商上的谱论，将 Ramanujan 图推广至高维。证明了在正特征的局部域上，仿射建筑物在所有维度中均存在无穷多个 Ramanujan 商，利用表示理论与自守形式，将已知的 Ramanujan 复形作为特例恢复，并构造了新的 Ramanujan 图。

ABSTRACT

Let $G$ be a topological group acting on a simplicial complex $\mathcal{X}$ satisfying some mild assumptions. For example, consider a $k$-regular tree and its automorphism group, or more generally, a regular affine Bruhat-Tits building and its automorphism group. We define and study various types of high-dimensional spectra of quotients of $\mathcal{X}$ by subgroups of $G$. These spectra include the spectrum of many natural operators associated with the quotients, e.g. the high-dimensional Laplacians. We prove a theorem in the spirit of the Alon-Boppana Theorem, leading to a notion of Ramanujan quotients of $\mathcal{X}$. Ramanujan $k$-regular graphs and Ramanuajn complexes in the sense of Lubotzky, Samuels and Vishne are Ramanujan in dimension $0$ according to our definition (for $\mathcal{X}$, $G$ suitably chosen). We give a criterion for a quotient of $\mathcal{X}$ to be Ramanujan which is phrased in terms of representations of $G$, and use it, together with deep results about automorphic representations, to show that affine buildings of inner forms of $\mathbf{GL}_n$ over local fields of positive characteristic admit infinitely many quotients which are Ramanujan in all dimensions. The Ramanujan (in dimension $0$) complexes constructed by Lubotzky, Samuels and Vishne arise as a special case of our construction. Our construction also gives rise to Ramanujan graphs which are apparently new. Other applications are also discussed. For example, we show that there are non-isomorphic simiplicial complexes which are isospectral in all dimensions.

研究动机与目标

• 通过仿射建筑物的商上的谱论，将图的 Ramanujan 性质推广至高维单纯复形。
• 基于自同构群的表示理论，建立一个商复形为 Ramanujan 的判别准则。
• 证明在正特征局部域上，GL_n 的内形的仿射建筑物在所有维度中均存在无穷多个 Ramanujan 商。
• 将已知的 Ramanujan 复形和图作为新框架的特例恢复。
• 利用自守形式与表示理论构造新的 Ramanujan 复形与图，并证明存在同谱但非同构的复形。

提出的方法

• 通过群作用关联的 Hecke 算子与拉普拉斯算子，定义单纯复形 X 的商的高维谱。
• 提出一种高维 Alon–Boppana 型定理，建立谱的下界，从而引出 Ramanujan 商的概念。
• 利用 X 的自同构群 G 的表示理论，通过温和表示与单位酉对偶刻画 Ramanujan 商。
• 应用 GL_n 在正特征下的自守表示与 Ramanujan–Petersson 猜想的深刻结果，构造 Ramanujan 商。
• 通过 Jacquet–Langlands 对应与同余子群，将建筑物的显式商实现为有限复形。
• 利用 *-代数与谱分解的函子框架，通过不可约单位酉表示计算谱。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过谱论将图的 Ramanujan 性质推广至高维单纯复形？
• RQ2 何种条件下，一个商复形的谱位于最优谱界内，类似于 Ramanujan 图的条件？
• RQ3 在正特征局部域上的仿射建筑物是否在所有维度中均存在无穷多个 Ramanujan 商？
• RQ4 能否利用自守形式与表示理论构造新的 Ramanujan 复形与图？
• RQ5 是否存在非同构但同谱的单纯复形？

主要发现

• 在正特征局部域上，GL_n 的内形的仿射建筑物在所有维度中均存在无穷多个 Ramanujan 商。
• 当建筑物为 PGL_d(F) 时，该构造将 Lubotzky、Samuels 与 Vishne 的 Ramanujan 复形作为特例恢复。
• 该方法构造了此前未知的新 Ramanujan 图，其来源于除法代数 D 上的 PGL_d(D) 的同余子群。
• 该框架证明了存在非同构但同谱的单纯复形。
• 商复形的谱包含于其万有覆叠的谱加上一个平凡谱，推广了 Ramanujan 图的条件。
• Ramanujan 商的判别准则以温和表示与单位酉对偶的形式表述，使通过自守形式实现显式谱分析成为可能。