[论文解读] The random connection model and functions of edge-marked Poisson processes: second order properties and normal approximation

Franz Nestmann, Matthias Schulte|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2018

Point processes and geometric inequalities参考文献 25被引用 6

一句话总结

本文研究了随机连接模型，这是一种通过位置相关边形成规则的泊松点过程生成的随机几何图。基于边标记泊松过程的一般结果，本文建立了在不断扩大的欧几里得窗口中，同构于有限图的连通分量计数以及有限连通分量总数的多变量和单变量中心极限定理。

ABSTRACT

The random connection model is a random graph whose vertices are given by the points of a Poisson process and whose edges are obtained by randomly connecting pairs of Poisson points in a position dependent but independent way. We study first and second order properties of the numbers of components isomorphic to given finite connected graphs. For increasing observation windows in an Euclidean setting we prove qualitative multivariate and quantitative univariate central limit theorems for these component counts as well as a qualitative central limit theorem for the total number of finite components. To this end we first derive general results for functions of edge marked Poisson processes, which we believe to be of independent interest.

研究动机与目标

• 分析随机连接模型中连通分量计数的分布性质，特别是与给定有限连通图同构的连通分量数量。
• 解决在具有位置相关边形成的随机空间图模型中，连通分量之间依赖性带来的挑战。
• 为边标记泊松过程的泛函发展一般理论工具，其应用不限于特定模型。
• 在欧几里得空间中观测窗口不断扩大的极限下，建立连通分量计数的渐近正态性。
• 为不断扩大的区域中的连通分量计数提供定性和定量的中心极限定理。

提出的方法

• 将随机连接图建模为欧几里得空间中的泊松过程，其中边根据空间邻近性和连接函数独立形成。
• 将连通分量计数定义为边标记泊松过程的函数，其中边标记编码连通性信息。
• 应用 Stein 方法和矩方法推导二阶性质及正态近似界。
• 利用 Malliavin 微积分和随机积分工具分析连通分量计数的方差与协方差结构。
• 通过累积量展开和依赖结构分析，在观测窗口不断扩大的极限下建立渐近正态性。
• 推导边标记泊松过程泛函的一般结果，随后将其特化应用于随机连接模型中的连通分量计数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在随机连接模型中，与给定有限连通图同构的连通分量数量的极限分布是什么？
• RQ2 当观测窗口大小增加时，连通分量计数的渐近行为如何？
• RQ3 该模型中连通分量计数的二阶性质（如方差和协方差）是什么？
• RQ4 能否为图中有限连通分量的总数建立中心极限定理？
• RQ5 可以发展何种一般理论框架来支持边标记泊松过程泛函的研究，以支撑上述结果？

主要发现

• 在随机连接模型中，建立了与给定有限连通图同构的连通分量计数的多变量中心极限定理。
• 为固定有限连通图同构的连通分量数量推导出定量的单变量中心极限定理，给出了明确的收敛速率。
• 证明了当观测窗口扩大时，图中有限连通分量总数的定性中心极限定理。
• 发展了边标记泊松过程泛函的一般结果，其本身具有独立研究价值，并支撑了主要发现。
• 通过基于底层空间依赖结构的方差与协方差表达式，刻画了连通分量计数的二阶性质。
• 在连接函数和泊松过程强度测度满足较弱正则性条件下，连通分量计数的渐近正态性成立。