[论文解读] The Rank-Width of Edge-Colored Graphs

Mamadou Moustapha Kanté, Rao, Michael|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2007

Advanced Graph Theory Research被引用 17

一句话总结

本文通过在有限域上使用矩阵表示，引入了两种新的秩宽参数——F-秩宽和F-双秩宽，用于边着色图，推广了无向图的秩宽概念。证明了这两个参数与弦宽等价，建立了顶点极小排除特征，并为固定宽度提供了时间复杂度为立方的识别算法，将无向图的关键算法与结构结果扩展到了边着色图和有向图。

ABSTRACT

Clique-width is a complexity measure of directed as well as undirected graphs. Rank-width is an equivalent complexity measure for undirected graphs and has good algorithmic and structural properties. It is in particular related to the vertex-minor relation. We discuss an extension of the notion of rank-width to edge-colored graphs. A C-colored graph is a graph where the arcs are colored with colors from the set C. There is not a natural notion of rank-width for C-colored graphs. We define two notions of rank-width for them, both based on a coding of C-colored graphs by edge-colored graphs where each edge has exactly one color from a field F and named respectively F-rank-width and F-bi-rank-width. The two notions are equivalent to clique-width. We then present a notion of vertex-minor for F-colored graphs and prove that F-colored graphs of bounded F-rank-width are characterised by a finite list of F-colored graphs to exclude as vertex-minors. A cubic-time algorithm to decide whether a F-colored graph has F-rank-width (resp. F-bi-rank-width) at most k, for fixed k, is also given. Graph operations to check MSOL-definable properties on F-colored graphs of bounded rank-width are presented. A specialisation of all these notions to (directed) graphs without edge colors is presented, which shows that our results generalise the ones in undirected graphs.

研究动机与目标

• 将无向图的秩宽概念扩展到边着色图，包括无边颜色的有向图。
• 通过在有限域上基于矩阵表示定义两个新参数，填补C-着色图缺乏自然秩宽概念的空白。
• 将结构与算法结果（如顶点极小不变性与有限排除构型特征）推广至边着色图。
• 为固定k值提供时间复杂度为立方的算法，用于识别F-秩宽或F-双秩宽有界的图。
• 通过新图运算实现对有界秩宽的边着色图中MSOL可定义性质的高效模型检查。

提出的方法

• 定义σ-对称矩阵以推广对称矩阵与斜对称矩阵，使有限域上边着色图的矩阵表示成为可能。
• 将C-着色图表示为有限域F上的矩阵，利用边颜色定义矩阵中的元素。
• 基于顶点划分诱导的子矩阵秩，引入F-秩宽与F-双秩宽，推广无向图的秩宽概念。
• 为F-着色图定义顶点极小与旋转极小操作，扩展无向图中的对应概念。
• 构建基于矩阵运算（⊗M1,M2,N1,N2,P1,P2）的术语代数，通过术语的赋值表示图，实现递归构造。
• 通过图术语的归纳构造与矩阵分解，证明图运算与秩宽参数之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 秩宽能否有意义地推广到边着色图，特别是无边颜色的有向图？
• RQ2 所提出的F-秩宽与F-双秩宽参数是否与边着色图的弦宽等价？
• RQ3 有界F-秩宽的图是否具有有限的排除顶点极小集，推广无向图的结果？
• RQ4 能否为固定k值构造F-秩宽（或F-双秩宽）的时间复杂度为立方的识别算法？
• RQ5 能否利用所提出的代数运算，在有界秩宽的F-着色图上高效检查MSOL可定义性质？

主要发现

• F-秩宽与F-双秩宽与边着色图的弦宽等价，意味着有界秩宽等价于有界弦宽，反之亦然。
• 有界F-秩宽的F-着色图可通过有限个排除顶点极小集来表征，推广了无向图的顶点极小特征。
• 对于任意固定k值，存在时间复杂度为立方的算法，用于判断给定F-着色图的F-秩宽（或F-双秩宽）是否不超过k。
• 本文构建了一个使用矩阵运算（⊗M1,M2,N1,N2,P1,P2）的术语代数，精确刻画了F-秩宽与F-双秩宽，实现MSOL模型检查而无需转换为弦宽表达式。
• 该结果可特化到无边颜色的有向图，表明该框架推广了无向图已有秩宽理论。
• 通过使用新代数运算而非转换为弦宽表达式，该框架支持在有界秩宽图上实现高效的MSOL模型检查。