[论文解读] The rate of convergence for the renewal theorem in $\mathbb{R}^d$

Jean−Baptiste Boyer|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文研究了在独立同分布的 $\mathrm{SL}_d(\mathbb{R})$-取值矩阵驱动下，$\mathbb{R}^d$ 上随机游动的更新定理中的收敛速率。通过分析单位算子扰动在球面上的马尔可夫算子的谱性质，利用一族算子 $P(it)$，作者导出了对解算子 $ (\mathrm{id} - P(it))^{-1} $ 的多项式界，从而得到潜在函数 $Gf$ 在原点处收敛的最优 Hölder 型估计。关键结果是在强不可约性与逼近性假设下，结合矩条件，精确给出了 Guivarc’h–Le Page 更新定理中的收敛速率。

ABSTRACT

Let $ρ$ be a borelian probability measure on $\mathrm{SL}_d(\mathbb{R})$. Consider the random walk $(X_n)$ on $\mathbb{R}^d\setminus\{0\}$ defined by $ρ$ : for any $x\in \mathbb{R}^d\setminus\{0\}$, we set $X_0 =x$ and $X_{n+1} = g_{n+1} X_n$ where $(g_n)$ is an iid sequence of $\mathrm{SL}_d(\mathbb{R})-$valued random variables of law $ρ$. Guivarc'h and Raugi proved that under an assumption on the subgroup generated by the support of $ρ$ (strong irreducibility and proximality), this walk is transient. In particular, this proves that if $f$ is a compactly supported continuous function on $\mathbb{R}^d$, then the function $Gf(x) :=\mathbb{E}_x \sum_{n=0}^{+\infty} f(X_n)$ is well defined for any $x\in \mathbb{R}^d \setminus\{0\}$. Guivarc'h and Le Page proved the renewal theorem in this situation : they study the possible limits of $Gf$ at $0$ and in this article, we study the rate of convergence in their renewal theorem. To do so, we consider the family of operators $(P(it))_{t\in \mathbb{R}}$ defined for any continuous function $f$ on the sphere $\mathbb{S}^{d-1}$ and any $x\in \mathbb{S}^{d-1}$ by \[ P(it) f(x) = \int_{\mathrm{SL}_d(\mathbb{R})} e^{-it \ln \frac{ \|gx\|}{\|x\|}} f\left(\frac{gx}{\|gx\|} ight) \mathrm{d}ρ(g) \] And we prove that, for some $L\in \mathbb{R}$ and any $t_0 \in \mathbb{R}_+^\ast$, \[ \sup_{\substack{t\in \mathbb{R}\\ |t| \geqslant t_0}} \frac{ 1 }{|t|^L} \left\| (I_d-P(it))^{-1} ight\| ext{ is finite} \] where the norm is taken in some space of hölder-continuous functions on the sphere.

研究动机与目标

• 确定当驱动测度满足强不可约性与逼近性时，$\mathrm{SL}_d(\mathbb{R})$-驱动的 $\mathbb{R}^d$ 上随机游动在更新定理中的收敛速率。
• 分析潜在函数 $Gf(x) = \sum_{n=0}^\infty \mathbb{E}_x[f(X_n)]$ 在 $x \to 0$ 时的渐近行为，特别是其在原点处的连续性模。
• 建立作用于球面 $S^{d-1}$ 上 Hölder 连续函数空间上的算子族 $P(it)$ 的解算子 $ (\mathrm{id} - P(it))^{-1} $ 的定量界，该界控制收敛速率。
• 通过在驱动测度满足矩条件与谱条件的前提下，提供 $x \to 0$ 时的多项式收敛速率，拓展经典更新定理。

提出的方法

• 通过 $P(it)f(x) = \int_{\mathrm{SL}_d(\mathbb{R})} e^{-it \ln \|gx\|} f(gx/\|gx\|) \, d\rho(g)$ 定义 $C^{\gamma}(S^{d-1})$ 上的算子族 $P(it)$，编码随机游动在球面上的动力学。
• 利用谱扰动理论，建立 $ |t| \geq t_0 > 0 $ 时算子范数 $ \| (\mathrm{id} - P(it))^{-1} \| $ 的一致界，证明其增长至多为 $ |t|^{-L} $ 的形式，其中 $ L \in \mathbb{R} $。
• 利用对数长度 $ \ln \|gx\| $ 的丢番图性质，控制谱间隙并避免共振，确保解算子在本质谱上保持有界。
• 应用带有余项估计的维纳 Tauber 定理，控制卷积的衰减，并将测试函数的正则性传递至潜在函数。
• 通过与高斯函数的卷积引入正则化过程，处理非光滑测试函数，同时保持对收敛速率的控制。
• 利用平稳测度的结构及在射影空间上的作用，将问题约化至球面，并利用 $P$-不变函数的唯一或二维空间结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathrm{SL}_d(\mathbb{R})$-驱动的 $\mathbb{R}^d$ 上随机游动的更新定理中，潜在函数 $Gf(x)$ 在原点处的收敛速率是什么？
• RQ2 球面 $S^{d-1}$ 上算子 $P(it)$ 的谱行为如何控制 $Gf$ 在 $x \to 0$ 时的收敛速率？
• RQ3 在矩阵范数满足丢番图条件时，解算子 $ (\mathrm{id} - P(it))^{-1} $ 在大 $|t|$ 时是否对 $t$ 一致有界？
• RQ4 对数长度 $ \ln \|gx\| $ 的丢番图性质在多大程度上影响潜在函数 $Gf$ 的正则性与衰减性？
• RQ5 球面上存在一个或两个 $T_\rho$-不变闭子集时，如何影响 $Gf$ 在 0 处的连续性模？

主要发现

• 在 $\rho$ 满足强不可约性、逼近性与矩条件的前提下，解算子 $ (\mathrm{id} - P(it))^{-1} $ 在 $S^{d-1}$ 上 Hölder 连续函数空间中，对所有 $ |t| \geq t_0 > 0 $ 一致有界，其界为 $ C |t|^{-L} $，其中 $ L \in \mathbb{R} $。
• 当 $ x \to 0 $ 时，$ Gf(x) $ 收敛至 $ \frac{1}{\lambda_\rho} \Pi_0 f(x) $ 的速率由 $ f $ 的 Hölder 范数控制，收敛速率为 $ O(\|x\|^\gamma) $，其中 $ \gamma > 0 $ 依赖于系统的丢番图性质。
• 对于紧支集的 $ \gamma $-Hölder 连续函数 $ f $ 且满足 $ f(0) = 0 $，函数 $ (G - \frac{1}{\lambda_\rho} \Pi_0)f $ 可连续延拓至 $ \mathbb{R}^d $，其在 0 处的连续性模受 $ C \|f\|_{\gamma} \|x\|^\gamma $ 控制。
• 证明依赖于带有余项估计的维纳型 Tauber 定理，其中 $ \phi_k * f $ 的衰减控制解的正则性，卷积核 $ \phi_k(x) = x^k e^{-x} \mathbf{1}_{\mathbb{R}_+}(x) $ 用于正则化测试函数。
• 球面上 $P$-不变函数的唯一或二维空间的存在性决定了原点极限的连续性或仅方向连续性，且收敛速率反映了该结构。
• 最终结果表明，该收敛速率在最优意义下成立：若无更强的矩阵范数丢番图假设，Hölder 估计中的指数 $ \gamma $ 无法进一步改进。