[论文解读] The rate of convergence of some asymptotically chi-square distributed statistics by Stein's method

Robert E. Gaunt, Gesine Reinert|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2016

Random Matrices and Applications参考文献 26被引用 3

一句话总结

本文应用Stein方法推导出渐近卡方分布统计量的$O(n^{-1})$收敛速率，包括Friedman统计量和幂发散族。通过扩展近期的多变量正态分布函数逼近理论，建立了通用界，并证明当$r \geq 2$时，若$\lambda$为正整数或$\lambda \geq 5$，则收敛速率为$O(n^{-1})$，并推测该速率对所有$\lambda \in \mathbb{R}$均成立。

ABSTRACT

We build on recent works on Stein's method for functions of multivariate normal random variables to derive bounds for the rate of convergence of some asymptotically chi-square distributed statistics. We obtain some general bounds and establish some simple sufficient conditions for convergence rates of order $n^{-1}$ for smooth test functions. These general bounds are applied to Friedman's statistic for comparing $r$ treatments across $n$ trials and the family of power divergence statistics for goodness-of-fit across $n$ trials and $r$ classifications, with index parameter $λ\in\mathbb{R}$ (Pearson's statistic corresponds to $λ=1$). We obtain a $O(n^{-1})$ bound for the rate of convergence of Friedman's statistic for any number of treatments $r\geq2$. We also obtain a $O(n^{-1})$ bound on the rate of convergence of the power divergence statistics for any $r\geq2$ when $λ$ is a positive integer or any real number greater than 5. We conjecture that the $O(n^{-1})$ rate holds for any $λ\in\mathbb{R}$.

研究动机与目标

• 改进现有对渐近卡方分布统计量收敛速率的界。
• 将Stein方法扩展至处理块设计统计量中的依赖随机变量，如Friedman检验中的排名。
• 为光滑检验函数建立$O(n^{-1})$收敛速率的一般充分条件。
• 将该框架应用于关键的非参数统计量：Friedman卡方统计量与幂发散族。
• 推测在幂发散族中，对所有$\lambda \in \mathbb{R}$，$O(n^{-1})$收敛速率均成立。

提出的方法

• 使用Stein方法近期针对多变量正态随机变量函数的变体，以界定统计量与其卡方极限之间的距离。
• 将该方法应用于可表示为归一化秩或频数二次型的统计量，如$F_r = \sum_{j=1}^r W_j^2$和$T_\lambda(\mathbf{W})$。
• 推导出表示幂发散统计量的函数$b(\mathbf{w})$的导数界，以验证在所需光滑性类中存在$O(1)$多项式控制函数。
• 证明$T_\lambda(\mathbf{W}) \in C_{Q,n^{-1/2}}^6(\mathbb{R}^r)$对$\lambda \in \mathbb{Z}^+$且$\lambda \geq 5$成立，从而可应用定理2.6获得$O(n^{-1})$界。
• 利用$X_{ij}$和$W_j$的矩界控制Stein方程解中的误差，从而得出最终的收敛速率。
• 采用一种通用框架，将多个卡方统计量的分析统一于同一理论体系之下。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将Stein方法扩展至推导具有依赖分量（如Friedman检验中的排名）的渐近卡方统计量的$O(n^{-1})$收敛速率？
• RQ2 对函数及其导数的一般条件为何，可确保基于多变量正态逼近的统计量实现$O(n^{-1})$收敛？
• RQ3 幂发散族的$O(n^{-1})$速率是否对所有$\lambda \in \mathbb{R}$成立，还是仅对特定值成立？
• RQ4 块设计中的依赖结构如何影响收敛速率，且能否在Stein方法框架内处理？
• RQ5 该理论框架能否推广至包含非整数$\lambda$时导数的奇点？

主要发现

• 本文为任意$r \geq 2$个处理的Friedman统计量建立了$O(n^{-1})$收敛速率。
• 对于幂发散族，当$\lambda$为正整数或$\lambda \geq 5$时，证明了$O(n^{-1})$收敛速率。
• 作者推导出比先前工作更弱的一般充分条件，以保证$O(n^{-1})$收敛。
• 基于现有$O(n^{(r-1)/r})$界及余项结构，提出推测：对所有$\lambda \in \mathbb{R}$，$O(n^{-1})$收敛速率均成立。
• 该方法适用于广泛的非参数统计量，包括Pearson卡方统计量与Freeman-Tukey统计量，作为特例。
• 该框架实现了对完整块设计中卡方逼近的统一处理，优于文献中已有的界。