[论文解读] The rational sectional category of certain maps

José Gabriel Carrasquel-Vera|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用 6

一句话总结

本文对 admits a homotopy retraction 的映射提供了有理 sectional category 的代数刻画，推广了 Félix-Halperin 对有理 LS category 的定理，并证明了 Jessup-Murillo-Parent 关于有理 topological complexity 的猜想。关键结果表明，有理 sectional category 是最小的 $ m $，使得某个特定的 cdga 投影 admits a homotopy retraction。

ABSTRACT

We give a simple algebraic characterisation of the sectional category of rational maps admitting a homotopy retraction. As a particular case we get the Félix-Halperin theorem for rational Lusternik-Schnirelmann category and prove the conjecture of Jessup-Murillo-Parent on rational topological complexity. We also give a characterisation for relative category in the sense of Doeraene-El Haouari.

研究动机与目标

• 为 admits a homotopy retraction 的映射提供其有理 sectional category 的纯代数刻画。
• 将 Félix-Halperin 关于有理 LS category 的定理推广至具有同伦收缩的任意有理映射。
• 利用所提出的框架证明 Jessup-Murillo-Parent 关于有理 topological complexity 的猜想。
• 将该刻画扩展至 Doeraene-El Haouari 意义下的相对 category。
• 通过有理不变量建立积分 sectional category 的代数下界。

提出的方法

• 通过 s-models $ \varphi: A \to B $ 建模有理映射，其中 $ A = (B \otimes \Lambda W, D) $ 是一个相对 Sullivan 代数，且 $ \varphi $ 是一个收缩。
• 定义投影 $ \rho_m: A \to A / (\ker \varphi)^{m+1} $，该映射商去 $ \varphi $ 的核的 $ (m+1) $ 次幂。
• 使用标准的有理同伦论技巧和相对 Sullivan 模型，将 $ \rho_m $ 的同伦收缩与 sectional category 关联起来。
• 将该框架应用于对角映射 $ \Delta_n: X \to X^n $，以建模更高阶的 topological $ n $-complexity。
• 利用 $ B $-模同伦收缩和 $ A $-模结构来定义并分析 $ \text{msecat} $ 和 $ \text{mTC} $。
• 在 $ B $ 上的 cdga 范畴中构造交换图表，以关联同伦截面与收缩，通过模型论技巧证明主要定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于其有理化 admits a homotopy retraction 的映射 $ f $，其有理 sectional category 的代数刻画是什么？
• RQ2 Jessup-Murillo-Parent 关于有理 topological complexity 的猜想是否成立？能否通过有理同伦论证明？
• RQ3 对于具有同伦收缩的映射，有理 sectional category 与 Doeraene-El Haouari 意义下的相对 category 有何关系？
• RQ4 当有理化 admits a homotopy retraction 时，$ \text{msecat} $ 不变量是否等于有理 sectional category？
• RQ5 有理 topological complexity 在乘积下（特别是 $ X \times S^n $）的行为如何？

主要发现

• 有理 sectional category $ \text{secat}(f_0) $ 是最小的 $ m $，使得 cdga 投影 $ \rho_m: A \to A / (\ker \varphi)^{m+1} $ admits a homotopy retraction。
• Jessup-Murillo-Parent 关于有理 topological complexity 的猜想被证明为真：$ \text{TC}(X_0) $ 是最小的 $ m $，使得投影 $ \Lambda V \otimes \Lambda V \to (\Lambda V \otimes \Lambda V)/K^{m+1} $ admits a homotopy retraction，其中 $ K $ 是乘法映射的核。
• 对于更高阶 topological complexity，$ \text{TC}_n(X_0) $ 是最小的 $ m $，使得投影 $ A \otimes (\Lambda V)^{\otimes n-1} \to A \otimes (\Lambda V)^{\otimes n-1} / (\ker \varphi)^{m+1} $ admits a homotopy retraction。
• Ganea 猜想对 $ \text{mTC} $ 成立：$ \text{mTC}(X \times S^n) = \text{mTC}(X) + \text{mTC}(S^n) $，其中 $ \text{mTC} $ 是 topological complexity 的 $ A $-模版本。
• 有理相对 category $ \text{relcat}(f_0) $ 是最小的 $ m $，使得相对 Sullivan 模型 $ i_m $ 存在收缩 $ r $，满足 $ \varphi \circ r \simeq \overline{\varphi} \circ \theta_m \text{ rel } A $。
• 该框架支持猜想：当 $ f_0 $ admits a homotopy retraction 时，$ \text{msecat}(f) = \text{secat}(f_0) $，尽管尚未完全证明。