[论文解读] The rationality of quaternionic Darmon points over genus fields of real quadratic fields

Matteo Longo, Stefano Vigni|arXiv (Cornell University)|May 18, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用 6

一句话总结

本文证明了在实二次域的类域上，四元数Darmon点的线性组合具有有理性，且其有理性的定义域与预测一致。通过p进L函数与上同调技术，作者将Bertolini与Darmon关于Stark–Heegner点的有理性结果推广至更广泛的四元数设定，首次提供了对非经典Stark–Heegner点的显式有理性结果，超越了Darmon原始构造的范围。

ABSTRACT

Darmon points on p-adic tori and Jacobians of Shimura curves over Q were introduced in previous joint works with Rotger as generalizations of Darmon's Stark-Heegner points. In this article we study the algebraicity over extensions of a real quadratic field K of the projections of Darmon points to elliptic curves. More precisely, we prove that linear combinations of Darmon points on elliptic curves weighted by certain genus characters of K are rational over the predicted genus fields of K. This extends to an arbitrary quaternionic setting the main theorem on the rationality of Stark-Heegner points obtained by Bertolini and Darmon, and at the same time gives evidence for the rationality conjectures formulated in a joint paper with Rotger and by M. Greenberg in his article on Stark-Heegner points. In light of this result, quaternionic Darmon points represent the first instance of a systematic supply of points of Stark-Heegner type other than Darmon's original ones for which explicit rationality results are known.

研究动机与目标

• 将Bertolini与Darmon关于Stark–Heegner点的有理性结果推广至四元数设定。
• 为Greenberg的有理性猜想以及文献[20]中关于四元数Darmon点的猜想提供证据。
• 证明加权了类特征的Darmon点的线性组合在实二次域K的预测类域上具有有理性。
• 表明这些点源自椭圆曲线在p进完备化中的全局点，从而将局部p进构造与整体算术联系起来。

提出的方法

• 利用p进L函数与Shimura曲线上的p进积分理论，将Darmon点构造为上同调类的投影。
• 应用在整除水平的素数处对Shimura曲线的Jacobian的刚性解析统一化，基于[19]与[20]的结果。
• 使用实二次域K的类特征来加权Darmon点的线性组合，确保其与伽罗瓦作用相容。
• 依赖p进模符号理论与群上同调，将p进L函数与点的对数正规化联系起来。
• 利用p进L函数的函数方程与特殊值，将L函数的导数与点的对数联系起来。
• 应用Hida族理论与L函数特殊值理论，控制L函数的代数部分，并将其与点的高度联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 加权了类特征的Darmon点的线性组合是否在实二次域K的预测类域上具有有理性？
• RQ2 四元数Darmon点是否满足与经典Stark–Heegner点相同的有理性性质，如[20]与[13]中所猜想？
• RQ3 能否在四元数设定下无条件地建立Darmon点的有理性，从而推广Bertolini与Darmon的结果？
• RQ4 这些点是否存在与猜想所预测的Shimura互反律一致的伽罗瓦等变结构？
• RQ5 p进L函数的取值能否用于在类域上的椭圆曲线上构造全局点？

主要发现

• 加权了类特征的Darmon点的线性组合在实二次域K的预测类域上具有有理性。
• 当且仅当导数L′(E/K, χ, 1) ≠ 0时，点Pχ ∈ E(Hχ)χ的阶为无穷。
• Pχ的适当整数倍属于E(Hχ)χ在p进对数下的像，意味着其在E(Kp) ⊗Z Q中有理。
• 点Pχ的对数与p进L函数的二阶导数成正比，比例常数属于Q×。
• 在Jχ = c logE(Pχ)中，常数c显式给出为±v√η(2)，其中v ∈ Q×且η(2)是Q×中的完全平方。
• 该构造证实了四元数Darmon点的有理性猜想，并为基域为Q时Greenberg猜想提供了证据。