[论文解读] The Rationality Problem in Invariant Theory

Christian Böhning|ArXiv.org|Apr 6, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 67被引用 8

一句话总结

本文研究了不变量理论中的有理性问题，重点关注当半单群 $G$ 作用于表示 $V$ 时，不变域 $\mathbb{C}(V)^G$ 是否为纯超越域。通过使用高级技术，如协变方法和双重丛方法，作者证明了对于所有足够大的 $d$，平面曲线的模空间是有理的，除非存在一个有限的例外值列表。

ABSTRACT

This is a survey of the rationality problem in invariant theory. It also contains some new results, in particular in Chapter 2 on moduli spaces of plane curves with a theta-characteristic, and a detailed account of the relation of the Hesselink stratification of the Hilbert nullcone to the rationality problem, with an application to the rationality of the moduli space of plane curves of degree 34.

研究动机与目标

• 确定半单群 $G$ 作用于表示 $V$ 时，有理函数域的不变域 $\mathbb{C}(V)^G$ 何时为纯超越域，即有理域。
• 通过分析商簇 $\mathbb{P}(\mathrm{Sym}^d(\mathbb{C}^3)^\vee)/\mathrm{SL}_3(\mathbb{C})$，解决大次数下平面曲线模空间的有理性问题。
• 通过应用新的算法与几何技术，特别是协变方法和双重丛方法，扩展已知的不变域有理性结果。
• 利用计算与上同调工具，证明平面曲线的模空间除有限多个例外次数外均为有理的。

提出的方法

• 应用协变方法，使用阿龙霍尔德-克莱布施记号中的符号演算，构造出次数为 4 的等变映射 $S_d: V(0,d) \to V(0,4)$ 和 $T_d: V(0,d) \to V(0,8)$。
• 利用博雷尔-博特定理计算旗流形上齐性丛的上同调，从而研究整体截面与不变量。
• 利用 $\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})$ 上的上半连续性，将定理 2.2.3.2 中的条件 (c) 的通用性条件约化为模素数 $p=11$ 或 $p=19$ 的有限计算，利用 $n$ 的周期性。
• 通过将齐次多项式写成线性形式的幂之和，并使用插值技术，将有理性问题约化为有限多个情形的检查。
• 对 $3$ 整除 $d$ 的情形采用双重丛方法，对 $d \not\equiv 0 \pmod{3}$ 的情形采用协变方法，借鉴 [BvB08-1a] 和 [BvB09-1] 中的技术。
• 利用单有理曲面必为有理曲面（卡斯特尔努奥瓦定理）的事实，得出二维商簇的有理性结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些次数 $d$，平面曲线的模空间是有理的？
• RQ2 协变方法能否用于证明大 $d$ 时 $\mathbb{P}(\mathrm{Sym}^d(\mathbb{C}^3)^\vee)/\mathrm{SL}_3(\mathbb{C})$ 的有理性？
• RQ3 哪些次数 $d$ 是可能使平面曲线模空间不具有有理性的例外值？
• RQ4 如何通过模素数约化的方法，计算验证协变方法中通用性条件的成立？
• RQ5 旗流形中点构型空间的有理性与商簇 $V/G$ 的有理性之间存在何种关联？

主要发现

• 模空间 $\mathbb{P}(\mathrm{Sym}^d(\mathbb{C}^3)^\vee)/\mathrm{SL}_3(\mathbb{C})$ 对所有满足 $d \geq 210$ 且 $d \equiv 0 \pmod{3}$ 的 $d$ 均为有理的，如 [Kat89] 所示。
• 对于 $d \equiv 1 \pmod{3}$，有理性对所有 $d \geq 37$ 成立；对于 $d \equiv 2 \pmod{3}$，有理性对所有 $d \geq 65$ 成立，使用协变方法。
• 定理 2.2.3.2 中的通用性条件 (c) 在模 $p=11$ 下对 $d=3n+1$ 和模 $p=19$ 下对 $d=3n+2$ 得到验证，问题被约化为依赖于 $n \mod 110$ 或 $n \mod 342$ 的有限计算。
• 根据定理 2.3.0.2，平面曲线的模空间除可能 $d \in \{6,7,8,11,12,14,15,16,18,20,23,24,26,32,48\}$ 外，其余均为有理的。
• $\mathbb{P}(V(0,4))/\mathrm{SL}_3(\mathbb{C})$ 和 $\mathbb{P}(V(0,8))/\mathrm{SL}_3(\mathbb{C})$ 的有理性被证明为 8 级稳定有理，支持了主要论证。
• 对于 $d=27$，使用了超出主要方法的额外技术，表明在某些情况下需要专门的工具。