[论文解读] The Rayleigh collapse of two spherical bubbles

Anthony Harkin, Adam Giammarese+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2021

Ultrasound and Cavitation Phenomena参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文提出了一种关于两个相同、非平动的球形气泡在流体动力学力作用下相互作用的惯性坍缩的解析解，扩展了雷利经典的单气泡模型。通过使用收敛缓慢的幂级数和一种在早期行为与近坍缩动力学之间匹配的渐近逼近式，作者在坍缩的整个时间线上实现了均匀的精度，当分离距离远大于气泡半径时，可恢复单气泡极限。

ABSTRACT

The inertial collapse of two interacting and non-translating spherical bubbles of equal size is considered. The exact analytic solution to the nonlinear ordinary differential equation that governs the bubble radii during collapse is first obtained via a slowly converging power series. An asymptotic approximant is then constructed that accelerates convergence of the series and imposes the asymptotic collapse behavior when the radii are small. The solution generalizes the classical 1917 Rayleigh problem of single bubble collapse, as this configuration is recovered when the distance between the bubble centers far exceeds that of their radii.

研究动机与目标

• 将雷利勋爵1917年的单气泡坍缩模型推广至两个相互作用、非平动、等径球形气泡的情形。
• 推导出双气泡系统的精确幂级数解，该解在整个物理区域内收敛缓慢。
• 通过构建一种渐近逼近式，使其在早期时间与幂级数匹配，并在近坍缩行为上保持正确，从而加速收敛并确保均匀精度。
• 当气泡间分离距离远大于其半径时，恢复经典雷利单气泡解作为极限情况。

提出的方法

• 建立描述两个等半径、非平动气泡在相互流体动力学作用下坍缩的耦合二阶非线性常微分方程。
• 通过将方程乘以 $3R^2 \dot{R}$，积分并应用初始条件 $R(0) = R_0$，$\dot{R}(0) = 0$，得到运动的第一积分，从而导出 $\dot{R}$ 的一阶 ODE。
• 通过时间展开获得气泡半径 $R(T)$ 的精确幂级数解，该解在整个坍缩区间内收敛缓慢。
• 通过在 $T \to 0$ 时匹配幂级数展开，并强制满足 $T \to T_{c2}$（坍缩时间）时的正确渐近行为，构建渐近逼近式。
• 使用主导平衡和摄动分析，推导出近坍缩行为的高阶修正项，特别是针对 $\epsilon \neq 0$（双气泡）情形。
• 通过与精确级数比较并分析在坍缩奇点附近的收敛加速性，验证逼近式的表现。

实验结果

研究问题

• RQ1 第二个附近气泡的存在如何改变惯性坍缩球形气泡的动力学和坍缩时间？
• RQ2 尽管幂级数解收敛缓慢，是否可以为双气泡雷利坍缩问题构造一个均匀准确的解析解？
• RQ3 两个相互作用气泡的近坍缩渐近行为的性质是什么？与单气泡情形有何不同？
• RQ4 气泡间分离距离 $D$ 如何影响坍缩动力学以及级数解的收敛性？
• RQ5 渐近逼近式在该非线性系统中，能在多大程度上弥合早期级数行为与晚期奇异行为之间的差距？

主要发现

• 双气泡坍缩时间 $T_{c2}$ 由包含 $\epsilon = R_0/D$ 的积分表达式给出，当 $\epsilon \to 0$ 时，该表达式退化为经典雷利结果。
• 通过渐近逼近法构造的逼近式在坍缩整个区间内实现了均匀精度，与原始幂级数相比显著加速了收敛。
• 双气泡系统的主导近坍缩行为为 $r \sim \delta (1 - t)^{2/5}$，当 $\epsilon \neq 0$ 时，下一阶修正项为 $D(t) \sim -\frac{1}{7}\epsilon\delta^2 (1 - t)^{4/5}$，与单气泡情形不同。
• 通过引入正确的渐近结构，逼近式的收敛性得到改善，且发现高阶奇异性的影响弱于主导奇异性的影响。
• 该方法成功推广了经典雷利解，当 $D \to \infty$（即 $\epsilon \to 0$）时，可恢复单气泡情形。
• 逼近式的构建确保了与初始幂级数及物理坍缩动力学的一致性，展示了在连接不同物理区域方面的鲁棒性。