[论文解读] The RCCN criterion of separability for states in infinite-dimensional quantum systems

Yu Guo, Jinchuan Hou|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2010

Quantum Information and Cryptography参考文献 6被引用 4

一句话总结

该论文将可分性判据中的实对齐准则与可计算的张量积范数（RCCN）准则推广至无限维双粒子量子系统。通过在希尔伯特-施密特算子上定义实对齐操作并将其与奇异值系数关联，作者证明：对于任意可分态 $\rho$，其实对齐态的迹范数 $\|\rho^R\|_{\rm Tr}$ 与可计算张量积范数 $\|\rho\|_{\rm CCN}$ 均等于奇异值系数之和 $\sum_k \delta_k \leq 1$，且当且仅当 $\rho$ 为纯可分态时等号成立。

ABSTRACT

In this paper, the realignment criterion and the RCCN criterion of separability for states in infinite-dimensional bipartite quantum systems are established. Let $H_A$ and $H_B$ be complex Hilbert spaces with $\dim H_A\otimes H_B=+\infty$. Let $ρ$ be a state on $H_A\otimes H_B$ and $\{δ_k\}$ be the Schmidt coefficients of $ρ$ as a vector in the Hilbert space ${\mathcal C}_2(H_A)\otimes{\mathcal C}_2(H_B)$. We introduce the realignment operation $ρ^R$ and the computable cross norm $\|ρ\|_{ m CCN}$ of $ρ$ and show that, if $ρ$ is separable, then $\|ρ^{R}\|_{ m Tr}=\|ρ\|_{ m CCN}=\sum\limits_kδ_k\leq1.$ In particular, if $ρ$ is a pure state, then $ρ$ is separable if and only if $\|ρ^{R}\|_{ m Tr}=\|ρ\|_{ m CCN}=\sum\limits_kδ_k=1$.

研究动机与目标

• 将双粒子量子系统中有限维情形下的实对齐与RCCN可分性判据推广至无限维情形。
• 基于实对齐态的迹范数，建立无限维系统中可分性的必要条件。
• 证明对于纯态，可分性等价于 $\|\rho^R\|_{\rm Tr} = \|\rho\|_{\rm CCN} = \sum_k \delta_k = 1$。
• 将对称态的概念推广至无限维系统，并证明在此情形下RCCN判据与PPT判据等价。

提出的方法

• 通过三种等价表述，将实对齐操作 $T \mapsto T^R$ 定义为从 $\mathcal{C}_2(H_A \otimes H_B)$ 到 $\mathcal{C}_2(H_B \otimes H_B, H_A \otimes H_A)$ 的等距线性映射。
• 将态 $\rho$ 视为希尔伯特空间 $\mathcal{C}_2(H_A) \otimes \mathcal{C}_2(H_B)$ 中的向量，并提取其奇异值系数 $\{\delta_k\}$。
• 证明对于 $H_A \otimes H_B$ 上的任意态 $\rho$，有 $\|\rho^R\|_{\rm Tr} = \|\rho\|_{\rm CCN} = \sum_k \delta_k$。
• 证明若 $\rho$ 可分，则 $\sum_k \delta_k \leq 1$，且等号成立当且仅当 $\rho$ 为纯可分态。
• 通过翻转算子 $F$（即 $\rho = F\rho F$）将对称态的概念推广至无限维系统。
• 证明在对称态情形下，RCCN判据（$\|\rho^R\|_{\rm Tr} \leq 1$）与PPT判据等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 实对齐与RCCN可分性判据能否推广至无限维双粒子量子系统？
• RQ2 在无限维系统中，实对齐态的迹范数与奇异值系数之间存在何种关系？
• RQ3 在无限维系统中，$\|\rho^R\|_{\rm Tr} = \sum_k \delta_k \leq 1$ 是否为可分性的必要条件？
• RQ4 对于无限维系统中的纯态，$\|\rho^R\|_{\rm Tr} = 1$ 是否为可分性的充要条件？
• RQ5 在无限维系统中，对称态类中RCCN判据与PPT判据是否等价？

主要发现

• 对于任意无限维双粒子系统中的可分态 $\rho$，其实对齐算符的迹范数满足 $\|\rho^R\|_{\rm Tr} \leq 1$。
• 可计算张量积范数 $\|\rho\|_{\rm CCN}$ 等于奇异值系数之和 $\sum_k \delta_k$，且对于可分态该值有上界1。
• 对于纯态 $\rho$，其可分性当且仅当 $\|\rho^R\|_{\rm Tr} = \|\rho\|_{\rm CCN} = \sum_k \delta_k = 1$ 成立。
• 实对齐操作 $T \mapsto T^R$ 是希尔伯特-施密特范数下 $\mathcal{C}_2(H_A \otimes H_B)$ 上的等距映射。
• 在无限维系统中，对称态满足RCCN判据（$\|\rho^R\|_{\rm Tr} \leq 1$）当且仅当满足PPT判据。
• 算符 $\rho^R$ 的奇异值等于 $\rho^{T_A}$ 的奇异值，因此 $\|\rho^R\|_{\rm Tr} = \|\rho^{T_A}\|_{\rm Tr}$，若 $\rho$ 不满足PPT，则该值大于1。