[论文解读] The Rees Algebra for Certain Monomial Curves

Debasish Mukhopadhyay, Indranath Sengupta|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2010

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文使用格罗布纳基技术与消去理论，显式计算了由四个互素整数构成的最小等差数列参数化的单变量曲线的Rees代数的定义方程。证明了blowup概形 ${\rm Proj}\,R[\wp t]$ 不是光滑的，从而在完美域上肯定地证实了弗兰西亚的猜想。

ABSTRACT

In this article, we find the equations defining the Rees algebra for certain Monomial Curves explicitly and use them to prove that the blowup scheme is not smooth. This proves a conjecture of Francia in affirmative, which says that a dimension one prime in a regular local ring is a complete intersection if it has a smooth blowup.

研究动机与目标

• 显式确定由四个互素整数构成的最小等差数列参数化的单变量曲线的Rees代数 $R[\wp t]$ 的定义方程。
• 利用在完美域上的雅可比判别法，研究blowup概形 ${\rm Proj}\,R[\wp t]$ 的光滑性。
• 验证弗兰西亚猜想——即在正则局部环中，若一维素理想其blowup是光滑的，则该理想必为完全交——在这一类单变量曲线上的成立性。
• 通过证明存在超越对称代数的非平凡关系，表明Rees代数不是线性类型的。
• 提供一个使用格罗布纳基与消去序的计算框架，用于分析多项式环中单变量理想的blowup代数。

提出的方法

• 使用消去定理与消去序，计算Rees代数 $R[\wp t]$ 的定义理想 $E = \ker(\varphi)$，其中同态 $\varphi: R[T_1,T_2,T_3,T_4] \to R[\wp t]$ 满足 $T_i \mapsto X_i t$。
• 通过分析由参数化 $X_i = T^{m_i}$ 导出的生成元的结合关系与S-多项式，构造核理想 $E$ 的格罗布纳基。
• 定义关键多项式 $A(i;b,j)$、$B(i,j)$、$D$、$L(i)$、$Q(b,i)$ 以及 $\Psi$、$\Phi$-函数，以描述Rees代数中的关系。
• 在齐次素理想 $\mathfrak{P}_b$ 上应用雅可比判别法，检验blowup概形在各点的光滑性。
• 分析雅可比矩阵 $\mathcal{J}_{\mathfrak{P}_b}$ 在模 $\mathfrak{P}_b$ 下的秩，以判断局部环是否为正则环。
• 利用 $\wp$ 不是完全交（由Maloo-Sengupta已建立）的事实，证明若理想不是完全交，则其blowup不可能是光滑的。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于由四个互素整数构成的最小等差数列参数化的单变量曲线，其Rees代数 $R[\wp t]$ 的显式定义方程是什么？
• RQ2 在完美域上，blowup概形 ${\rm Proj}\,R[\wp t]$ 是否光滑？
• RQ3 blowup的非光滑性是否意味着理想 $\wp$ 不是完全交？
• RQ4 能否通过使用消去理论的格罗布纳基计算来描述此类单变量曲线的Rees代数？
• RQ5 弗兰西亚猜想是否对在 $\mathbb{A}^4$ 中由最小等差数列定义的单变量曲线成立？

主要发现

• Rees代数 $R[\wp t]$ 由格罗布纳基显式描述，其包含多项式 $A(i;b,j)$、$L(i)$、$Q(b,i)$、$D$ 以及相关的 $\Psi$、$\Phi$-函数。
• 通过雅可比判别法证明，blowup概形 ${\rm Proj}\,R[\wp t]$ 不是光滑的：在每个点处，雅可比矩阵模 $\mathfrak{P}_b$ 的秩小于局部环的维数。
• 当 $b=1$ 时，雅可比矩阵的秩为3；当 $b=2$ 时，秩为2；当 $b=3$ 时，秩为0，表明在所有三个点处均存在奇点。
• 局部环 $(R_b/E_b)_{\mathfrak{P}_b}$ 在 $\mathfrak{P}_b$ 处不是正则的，从而证明 ${\rm Proj}\,R[\wp t]$ 不是光滑的。
• $\wp$ 不是完全交，且blowup不光滑，这在该类曲线中肯定地证实了弗兰西亚猜想。
• Rees代数不是线性类型，因为 $\mathcal{A} = E/E_1 \neq 0$，表明存在超越对称代数的非平凡关系。