[论文解读] The refined analytic torsion and a well-posed boundary condition for the odd signature operator

Rung-Tzung Huang, Yoonweon Lee|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2010

Advanced Operator Algebra Research参考文献 29被引用 8

一句话总结

本文为奇维紧致黎曼流形边界上的奇符号算子引入了两种互补且适定的边界条件，使得在此设定下可定义精细解析 torsion。研究证明 torsion 与 Agmon 角的选择无关，并在流形内部度量变化下保持不变，通过 zeta-行列式与 eta-不变量，结合热核渐近分析，将解析 torsion 框架推广至带边流形。

ABSTRACT

In this paper we discuss the refined analytic torsion on an odd dimensional compact oriented Riemannian manifold with boundary under some assumption. For this purpose we introduce two boundary conditions which are complementary to each other and well-posed for the odd signature operator $\mathcal{B}$ in the sense of Seeley. We then show that the zeta-determinants of $\mathcal{B}^2$ and eta-invariants of $\mathcal{B}$ subject to these boundary conditions are well defined by using the method of the asymptotic expansions of the traces of the heat kernels. We use these facts to define the refined analytic torsion on a compact manifold with boundary and show that it is invariant on the change of metrics in the interior of the manifold. We finally describe the refined analytic torsion under these boundary conditions as an element of the determinant line.

研究动机与目标

• 在奇维紧致黎曼流形带边情形下定义精细解析 torsion，此时标准边界条件对解析 torsion 与 eta 不变量均失效。
• 构造两种互补的边界条件，使其在 Seeley 意义下对奇符号算子 $\mathcal{B}$ 适定，确保谱与解析性质良好。
• 利用热核渐近分析，证明在这些条件下 $\mathcal{B}^2$ 的 zeta-行列式与 $\mathcal{B}$ 的 eta-不变量是良好定义的。
• 证明精细解析 torsion 在流形内部度量形变下保持不变。
• 将精细解析 torsion 描述为上同调确定线丛的元素，推广闭流形情形。

提出的方法

• 基于边界上的 Hodge 分解与辛结构，引入两种边界条件 $\mathcal{P}_{-, L_0}$ 与 $\mathcal{P}_{+, L_1}$，确保奇符号算子 $\mathcal{B}$ 的适定性。
• 利用热核迹的渐近展开方法，定义在这些边界条件下 $\mathcal{B}^2$ 的 zeta-行列式与 $\mathcal{B}$ 的 eta-不变量。
• 建立谱性质，表明 $\mathcal{B}^2$ 与 $\mathcal{B}$ 的谱位于实轴附近的小扇形内，仅有限个特征值除外，从而实现 zeta 与 eta 函数的正则化。
• 构造一个上链复形 (1.1)，在边界条件下满足 Poincaré 对偶性，确保与拓扑对偶性的一致性。
• 将精细解析 torsion 定义为 zeta-正则化行列式与 eta-不变量的乘积，并通过连续性与拓扑不变性证明其与 Agmon 角无关。
• 通过证明 torsion 在内部度量连续形变下保持不变，建立度量不变性，依赖于核维数的拓扑不变性与 eta 不变量的连续依赖性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在标准边界条件（APS、绝对/相对）对解析 torsion 与 eta 不变量均失效的情况下，能否在紧致黎曼流形带边情形下一致地定义精细解析 torsion？
• RQ2 奇符号算子 $\mathcal{B}$ 的何种边界条件在 Seeley 意义下适定，且与 Ray-Singer 解析 torsion 及 eta 不变量相容？
• RQ3 在这些新边界条件下，$\mathcal{B}^2$ 的 zeta-行列式与 $\mathcal{B}$ 的 eta-不变量是否良好定义？
• RQ4 精细解析 torsion 是否与 zeta 与 eta 函数的 Agmon 角选择无关？
• RQ5 精细解析 torsion 在流形内部黎曼度量的连续形变下是否保持不变？

主要发现

• 精细解析 torsion $\rho_{an,\widetilde{\mathcal{P}}_0}(g^M,\nabla)$ 与 $\rho_{an,\widetilde{\mathcal{P}}_1}(g^M,\nabla)$ 与 zeta 与 eta 函数的 Agmon 角选择无关。
• 通过热核渐近分析，在新边界条件 $\mathcal{P}_{-, L_0}$ 与 $\mathcal{P}_{+, L_1}$ 下，$\mathcal{B}^2$ 的 zeta-行列式与 $\mathcal{B}$ 的 eta-不变量是良好定义的。
• 精细解析 torsion 在流形 $M$ 内部度量的连续形变下保持不变，因为 $\mathcal{B}^{\text{trivial}}_{\text{even}}$ 的核维数是拓扑不变量，且 eta 不变量连续变化。
• 由边界条件诱导的上链复形 (1.1) 满足 Poincaré 对偶性，由对称关系 $\mathcal{P}_{-, L_0}\Gamma^Y = \Gamma^Y\mathcal{P}_{+, L_1}$ 与 $\mathcal{B}_{\mathcal{P}_{-, L_0}}\Gamma = \Gamma\mathcal{B}_{\mathcal{P}_{+, L_1}}$ 所示。
• 当 $\nabla$ 为 Hermitian 联络时，精细解析 torsion 的 Ray-Singer 范数为 1，因为 $\|\rho_{\widetilde{\mathcal{P}}_{0},[0,\lambda]}\|_\lambda = 1$，且通过高频部分的 zeta-正则化行列式对 torsion 范数进行归一化。
• 精细解析 torsion 被描述为上同调确定线丛 $\operatorname{Det}(H^\bullet(M,E))$ 中的元素，将闭流形情形推广至带边流形。