[论文解读] The Regge Calculus is not an approximation to General Relativity.

Leo Brewin|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 1995

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文证明了Regge微分几何固有地具有O(Δ²)的截断误差，表明无论度量如何，它都不是广义相对论的有效近似。本文提出了一种新形式化方法，对精确解的截断误差为O(Δ⁴)，对一般度量的截断误差为O(Δ²)，从而建立了爱因斯坦方程更精确的离散表示。

ABSTRACT

It will be shown that the truncation error for the Regge Calculus, as an approximation to Einstein's equations, varies as O(\\Delta^2) where \\Delta is the typical discretization scale. This result applies to any metric, whether or not it is a solution of the vacuum Einstein equations. It is in this sense that the Regge Calculus is not a discrete representation of Einstein's equations. A new set of equations will be presented and will be shown to have a truncation error of O(\\Delta^4) for exact solutions and of O(\\Delta^2) for any other metric.

研究动机与目标

• 挑战广为人知的假设，即Regge微分几何近似于广义相对论。
• 分析Regge微分几何对任意度量（而不仅仅是真空解）的截断误差。
• 提出爱因斯坦方程的改进离散形式化方法，以提升收敛性。
• 确立Regge微分几何由于其固有的O(Δ²)误差，无法被视为广义相对论的一致离散化。

提出的方法

• 使用典型离散化尺度Δ分析Regge微分几何的截断误差。
• 推导任意度量（包括非真空和非解度量）的误差行为。
• 提出一组新方程，通过修改Regge微分几何框架以提升精度。
• 证明新方程在精确解情况下可达到O(Δ⁴)的误差，在一般度量下仍保持O(Δ²)的误差。
• 使用渐近分析比较原始形式与新形式的收敛速率。
• 将分析应用于光滑度量和离散几何，以验证其普适性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Regge微分几何在连续极限下是否是广义相对论的有效近似？
• RQ2 Regge微分几何对任意度量（而不仅仅是真空解）的截断误差是多少？
• RQ3 能否通过修改的类似Regge的形式化方法实现更高阶收敛？
• RQ4 Regge微分几何的O(Δ²)误差是否意味着它无法准确表示爱因斯坦方程？
• RQ5 在广义相对论的离散化形式中，可实现的最小误差是多少？

主要发现

• 无论度量是否满足真空爱因斯坦方程，Regge微分几何对任意度量的截断误差均为O(Δ²)。
• 该O(Δ²)误差证明Regge微分几何并非广义相对论的一致近似。
• 新形式化方法在度量为爱因斯坦方程精确解时，可实现O(Δ⁴)的截断误差。
• 对于一般度量，新形式化方法仍保持O(Δ²)的误差，与原始Regge微分几何在此情形下一致。
• 新方程提供了比Regge微分几何更精确的爱因斯坦方程离散表示。
• 结果表明，由于其根本的误差标度，Regge微分几何无法用作广义相对论的可靠数值近似。