[论文解读] The regularity method for graphs and digraphs

Amelia Taylor|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2014

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文將正則性方法應用於無向圖與有向圖的極值問題，專注於哈密頓圈與完美包裝。研究證明，具線性最小半度的強健出鄰域擴張有向圖包含所有哈密頓圈的定向形式，從而為Nash-Williams猜想提供近似解，並推廣了關於完美 $C_6$-包裝與度序列條件的研究成果。

ABSTRACT

This MSci thesis surveys results in extremal graph theory, in particular relating to Hamilton cycles. Szeméredi's Regularity Lemma plays a central role. We also investigate the robust outexpansion property for digraphs. Kelly showed that every sufficiently large oriented graph on $n$ vertices with minimum in- and outdegree at least $3n/8 +o(n)$ contains any orientation of a Hamilton cycle. We use Kelly's arguments to extend his result to any robustly expanding digraph of linear degree.

研究动机与目标

• 發展並應用正則性方法於無向圖與有向圖，以解決極值問題。
• 建立足夠的最小度與度序列條件，確保有向圖中存在哈密頓圈。
• 證明具線性最小半度的強健出鄰域擴張有向圖包含所有哈密頓圈的定向形式。
• 為Nash-Williams關於有向圖中哈密頓圈之度序列條件的猜想提供近似解。
• 利用正則性方法推廣完美包裝的結果，例如 $C_6$-包裝。

提出的方法

• 使用Szemerédi的正則性引理，將大型圖劃分為具有偽隨機邊分佈的簇。
• 應用關鍵引理與爆破引理，將指定的子圖嵌入至正則簇中。
• 採用 $(\varepsilon,d)$-超正則性概念，確保簇之間邊分佈的平衡性。
• 引入強健出鄰域擴張作為一種對小擾動具有魯棒性的結構性質，從而支援哈密頓圈的嵌入。
• 使用略強於Nash-Williams猜想中度序列條件的條件，以推導出強健出鄰域擴張。
• 證明每一個足夠大的強健 $(\nu,\tau)$-出鄰域擴張有向圖，只要其最小半度至少為 $\eta n$，便包含所有哈密頓圈的定向形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何種最小度或度序列條件下，有向圖會包含哈密頓圈？
• RQ2 正則性方法能否用來證明大型有向圖中所有哈密頓圈定向形式的存在性？
• RQ3 強健出鄰域擴張是否意味著有向圖中存在所有哈密頓圈的定向形式？
• RQ4 Nash-Williams猜想中的條件與強健出鄰域擴張及哈密頓圈存在性之間有何關係？
• RQ5 何種最小半度條件可保證大型圖中存在完美 $C_6$-包裝？

主要发现

• 每一個足夠大的強健 $(\nu,\tau)$-出鄰域擴張有向圖，只要其最小半度至少為 $\eta n$，便包含所有哈密頓圈的定向形式。
• 條件 $\delta^0(G) \geq (3/8 + \alpha)n$ 可保證大型定向圖中存在所有哈密頓圈的定向形式，從而確認了Kelly的結果。
• 該結果表明，略強於Nash-Williams猜想中度序列條件的條件，可推導出強健出鄰域擴張，進而保證哈密頓圈的存在。
• 本文利用正則性方法，提供了大型圖中完美 $C_6$-包裝的充分最小度條件。
• 正則性方法成功推廣至定向圖，使任意哈密頓圈定向形式的嵌入成為可能。
• 主要結果推廣了先前的定理，包括Keevash、Kühn與Osthus的結果，涵蓋所有哈密頓圈的定向形式。