[论文解读] The regularity method for graphs with few 4-cycles

David Conlon, Jacob Fox+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2020

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 27被引用 7

一句话总结

本文针对四元环较少的图开发了一种稀疏图正则性方法，建立了关于五元环的新计数引理，从而实现新的去除引理及在极值与加法组合数学中的应用。关键贡献是在不含四元环的图中建立了一个稀疏的 $C_5$-去除引理，表明通过删除 $o(n^{3/2})$ 条边，可使 $o(n^{5/2})$ 个五元环被消除，该结果在三角形去除及无非平凡解的方程研究中具有应用价值。

ABSTRACT

We develop a sparse graph regularity method that applies to graphs with few 4-cycles, including new counting and removal lemmas for 5-cycles in such graphs. Some applications include: * Every $n$-vertex graph with no 5-cycle can be made triangle-free by deleting $o(n^{3/2})$ edges. * For $r \geq 3$, every $n$-vertex $r$-graph with girth greater than $5$ has $o(n^{3/2})$ edges. * Every subset of $[n]$ without a nontrivial solution to the equation $x_1 + x_2 + 2x_3 = x_4 + 3x_5$ has size $o(\sqrt{n})$.

研究动机与目标

• 开发一种适用于四元环较少的图的稀疏正则性方法，无需依赖伪随机或随机的母图。
• 在该类图中建立关于五元环的新计数引理，以支持去除引理与结构应用。
• 将该方法应用于极值图论，证明 $C_5$-自由图可通过删除 $o(n^{3/2})$ 条边变为三角形自由图。
• 通过图论构造，推导出无非平凡解的特定线性方程组解集大小的界。

提出的方法

• 该方法引入一个计数引理，利用稀疏正则性框架，对 $C_4$-自由图中五元环的数量进行下界估计。
• 利用四元环的缺失来控制五元环嵌入的数量，并推导出结构约束。
• 该方法结合图正则性与极值组合数学，聚焦于四元环数量为次二次方的图。
• 关键构造使用 $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$ 索引的顶点集，以及由 Sidon 集 $X$ 定义的边集，以生成边不相交的五元环。
• 该方法避免依赖伪随机或随机母图，转而利用图的稀疏性与无四元环性作为结构假设。
• 该方法结合了概率与代数技术，包括三角形的张量幂与马尔可夫不等式，以构造极值例子。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不假设伪随机性或包含于随机图的前提下，在 $C_4$-自由图中建立五元环的去除引理？
• RQ2 在 $C_4$-自由图中，使图变为 $C_5$-自由图所需删除的边数与五元环数量之间的极值关系为何？
• RQ3 能否将正则性方法适配于四元环较少的稀疏图，以在极值图论与加法组合数学中获得新结果？
• RQ4 集合 $[n]$ 的子集中，无非平凡解的方程 $x_1 + x_2 + 2x_3 = x_4 + 3x_5$ 的最大大小是多少？
• RQ5 能否改进在无法通过删除 $o(n^{3/2})$ 条边使图变为三角形自由图的图中，五元环数量的界中的指数？

主要发现

• 在 $n$ 个顶点的 $C_4$-自由图中，若五元环数量为 $o(n^{5/2})$，则可通过删除 $o(n^{3/2})$ 条边使其变为 $C_5$-自由图，从而确立了稀疏的 $C_5$-去除引理。
• 每个 $n$ 个顶点且不含 $C_5$ 的图，均可通过删除 $o(n^{3/2})$ 条边变为三角形自由图，将三角形去除引理推广至稀疏情形。
• 对于 $r \geq 3$，每个 $n$ 个顶点的 $r$-均匀超图，若其围长大于 5，则其边数为 $o(n^{3/2})$，这是新的极值结果。
• 存在 $n$ 个顶点的图，其五元环数量为 $o(n^{2.442})$，但无法通过删除 $o(n^{3/2})$ 条边使其变为三角形自由图，表明该指数在常数因子意义下是紧的。
• 在 $[n]$ 中无非平凡解的集合 $x_1 + x_2 + 2x_3 = x_4 + 3x_5$ 的大小为 $o(\sqrt{n})$，解决了加法组合数学中的一个问题。
• 构造出一个 $C_5$-自由图，其包含 $\Theta(n^{3/2})$ 条边不相交的三角形，且五元环数量为 $o(n^{2.442})$，证明了五元环计数界中指数的紧性。