[论文解读] The Reidemeister and the Nielsen numbers: growth rate, asymptotic behavior, dynamical zeta functions and the Gauss congruences

Alexander Fel'shtyn, Mateusz Slomiany|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2026

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一句话总结

该论文分析 tame 自同态/映射中的 Reidemeister 数与 Nielsen 数的增长率、渐近行为以及高斯同余，并确立 Nielsen 接近伽玛函数的有理性。

ABSTRACT

In the present paper, taking a dynamical point on view, we study the growth rate and asymptotic behavior of the sequences of the Reidemeister numbers and the sequences of the Reidemeister and the Nielsen coincidence numbers. We also prove the Gauss congruences for the sequence $\{R(φ^n,ψ^n)\}$ of the Reidemeister coincidence numbers of the tame pair $(φ,ψ)$ of endomorphisms of a torsion-free nilpotent group~$G$ of finite Prüfer rank. Furthermore, we prove the rationality of the Nielsen coincidence zeta function, the Gauss congruences for the sequence $\{N(f^n, g^n)\}$ of the Nielsen coincidence numbers and show that the growth rate exists for the sequence \{$N(f^n, g^n)\}$ of tame pair of maps $(f,g)$ of a compact nilmanifold to itself.

研究动机与目标

• 研究 tame 自同态对有限 Prüfer 秩的无 torsion 的 nilpotent 群的 Reidemeister 数 {R(φ^n)} 的增长率与渐近行为。
• 将研究扩展到 tame 自同态对子 {R(φ^n,ψ^n)} 的 Reidemeister 共 INCIDENT 数，并确立 Gauss 同余。
• 分析 Nielsen 共 INCIDENT 数 {N(f^n,g^n)}，并证明 Nielsen 共 INCIDENT zeta 函数的有理性及相关 Gauss 同余。
• 在紧致 nilmanifold 上 tame 映射对的设定下，展示 {N(f^n,g^n)} 的增长率的存在性。
• 将增长率与在对偶映射的 Abelian 截面上的特征值及拓扑熵联系起来。

提出的方法

• 提供一个关于 twisted 共轭及 coincidences 的群论框架。
• 通过孤立的下中心序列和特征值 α_k,ξ_{k,i}，将 R(φ^n) 表示为通过 Abelian 因子的乘积。
• 使用 近端完成和 p 进分析推导 R(φ^n) 的公式及增长率。
• 利用 p-进和 Adelic 技术为 {R(φ^n,ψ^n)} 推导 Gauss 同余。
• 在 {N(f^n,g^n)} 的增长率结果同时，证明 Nielsen 共 INCIDENT zeta 函数的有理性及有限 Gauss 同余。
• 将增长率与特征值及对偶映射的拓扑熵联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限 Prüfer 积的无 torsion 的 nilpotent 群的 tame 自同态下， Reidemeister 数的增长率 R^∞(φ) 是多少？
• RQ2 如何将 R(φ^n) 与 R(φ^n,ψ^n) 表达为 Abelian 截面上的特征值，并得到它们的渐近行为？
• RQ3 在上述设定中， {R(φ^n,ψ^n)} 与 {R(φ^n)} 的 Gauss 同余是否成立？
• RQ4 Nielsen 共 INCIDENT zeta 函数是否有理性，{N(f^n,g^n)} 是否满足 Gauss 同余？
• RQ5 在紧致 nilmanifold 上的 tame 映射下，{N(f^n,g^n)} 的增长率是否存在？

主要发现

• {R(φ^n)} 的增长率存在，并由 Abelian 因子上的特征值的最大值乘积给出。
• 一个闭式公式通过诱导自同态在 Abelian 截面上的特征值 ξ_{k,i} 表达 R(φ^n)。
• 在 tame pair 设置中，{R(φ^n,ψ^n)} 的 Gauss 同余已建立。
• Nielsen 共 INCIDENT zeta 函数是有理的，{N(f^n,g^n)} 满足 Gauss 同余。
• 在紧致 nilmanifold 上的 tame 映射对下，{N(f^n,g^n)} 的增长率存在。
• 将增长率与单位圆对偶映射的拓扑熵联系起来。