[论文解读] The relation of rapid ultrafilters and Q-points to van der Waerden ideal

Jana Flašková|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2010

Advanced Topology and Set Theory参考文献 4被引用 5

一句话总结

本文研究了快速超滤子与Q-点在范德瓦尔登理想W方面的区别，表明虽然所有Q-点都与W相交（且为弱W-超滤子），但快速超滤子可能完全避开W。在可数偏序集的马丁公理假设下，作者构造了一个不是Q-点的W-超滤子，表明W-超滤子的Q-点性质的逆命题不成立。

ABSTRACT

We point out one of the differences between rapid ultrafilters and Q-points: Rapid ultrafilters may have empty intersection with van der Waerden ideal, whereas every Q-point has a non-empty intersection with van der Waerden ideal. Assuming Martin's axiom for countable posets we also construct a W-ultrafilter which is not a Q-point.

研究动机与目标

• 阐明快速超滤子、Q-点与范德瓦尔登理想W之间的关系。
• 确定Q-点与W的相交性质是否可推广至W-超滤子。
• 研究弱W-超滤子性质是否蕴含超滤子为Q-点。
• 在可数偏序集的马丁公理下，构造一个不是Q-点的W-超滤子。
• 证明快速超滤子可避开范德瓦尔登理想，而Q-点则不能。

提出的方法

• 使用可数偏序集的马丁公理（MA_ctble）在有限集的偏序集上构造泛型滤子。
• 定义偏序集P，其元素为ω的不含3项等差数列的有限子集，按扩展关系并辅以最小值递增排序。
• 对滤子基中的每个F及每个k ∈ ω，引入稠密集D_{F,k}，以确保与F的交集包含任意长的等差数列。
• 应用泛型滤子G，构造集合G ⊆ ω，使得f[G] ∈ I_g，其中I_g为给定的可 summable 理想。
• 通过超限归纳法构造滤子基{F_α}，确保每个F_α为等差数列集，且对所有(f_α, g_α)对，有f_α[F] ∈ I_{g_α}。
• 将所得滤子基扩展为一个避开范德瓦尔登理想W的超滤子U，同时保持其为继承快速超滤子。

实验结果

研究问题

• RQ1 快速超滤子能否避开范德瓦尔登理想W？
• RQ2 每个Q-点是否必为W-超滤子，或仅是弱W-超滤子？
• RQ3 弱W-超滤子性质是否蕴含超滤子为Q-点？
• RQ4 在集合论假设如MA_ctble下，能否构造一个不是Q-点的W-超滤子？
• RQ5 超滤子的继承快速性与其与W的交集之间有何关系？

主要发现

• 每个Q-点都是弱W-超滤子，即对每个有限对一函数f，存在超滤子中的集合，其在f下的像属于W。
• 存在与范德瓦尔登理想W不相交的快速超滤子，表明快速性并不蕴含与W相交。
• 在可数偏序集的马丁公理下，存在一个继承快速超滤子U，使得U ∩ W = ∅。
• 在MA_ctble下可构造一个不是Q-点的W-超滤子，表明W-超滤子不一定是Q-点。
• 所构造的超滤子为继承快速超滤子，且仅包含等差数列集，即超滤子中的每个集合均为等差数列集。
• 该构造依赖于避免3项等差数列的有限集偏序集上的泛型滤子，以确保函数像集属于可summable理想。