[论文解读] The Relative Capacity

Markus Biegert|ArXiv.org|Jun 9, 2008

Analytic and geometric function theory参考文献 17被引用 8

一句话总结

本文在开集 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ 的闭包上引入了相对 $p$-容量 $\operatorname{Cap}_{p,\Omega}$，该容量推广了经典的 $p$-容量，并作为刻画 Sobolev 函数在不规则边界上迹的工具。关键贡献是通过 $\partial\Omega$ 上相对容量准处处为零，对空间 $W^{1,p}_0(\Omega)$ 进行了表征，借助容量理论的迹理论，将已知结果推广至一般开集。

ABSTRACT

The purpose of this article is to introduce the relative $p$-capacity $\Cap_{p,Ω}$ with respect to an open set $Ω$ in $\IR^N$. It is a Choquet capacity on the closure of $Ω$ and extends the classical $p$-capacity $\Cap_p$ in the sense that $\Cap_{p,Ω}=\Cap_p$ if $Ω=\IR^N$. The importance of the relative $p$-capacity stems from the fact that a large class of Sobolev functions defined on a 'bad domain' admit a trace on the boundary $\partialΩ$ which is then unique up to $\Cap_{p,Ω}$-polar set. As an application we prove a characterization of $W^{1,p}_0(Ω)$ for open sets $Ω\subset\IR^N$.

研究动机与目标

• 为 Sobolev 函数在不规则区域边界上的行为量身定制一种新容量，即相对 $p$-容量 $\operatorname{Cap}_{p,\Omega}$。
• 将经典的 $p$-容量扩展至相对设定，以捕捉 $W^{1,p}(\Omega)$ 中函数在 $\partial\Omega$ 上的迹性质。
• 在不假设函数在 $\mathbb{R}^N$ 上全局可积的条件下，提供 $W^{1,p}_0(\Omega)$ 的容量理论表征。
• 建立 Sobolev 函数在 $\partial\Omega$ 上的迹在 $\operatorname{Cap}_{p,\Omega}$-零极集意义下的唯一性，从而实现对“坏”区域的分析。

提出的方法

• 将 $\operatorname{Cap}_{p,\Omega}(A)$ 定义为所有满足 $u \in \mathcal{Y}_{p,\Omega}(A)$ 的函数 $u$ 的 $\|u\|_{W^{1,p}(\Omega)}^p$ 的下确界，其中 $\mathcal{Y}_{p,\Omega}(A)$ 是 $W^{1,p}(\Omega)$ 中在 $A \subset \overline{\Omega}$ 上几乎处处 $\geq 1$ 的函数集合。
• 证明 $\operatorname{Cap}_{p,\Omega}$ 是 $\overline{\Omega}$ 上的 Choquet 容量，满足单调性、沿递增序列的连续性以及沿递减紧集的连续性。
• 利用 $W^{1,p}$ 函数的准连续性及零极集的概念，分析函数在 $\partial\Omega$ 上的迹行为。
• 通过截断和截断函数构造 $W^{1,p}_0(\Omega)$ 中的逼近序列，以证明稠密性与弱收敛性。
• 应用相对容量，通过条件 $\lim_{r\to 0} r^{-N} \int_{B(x,r)\cap \Omega} |u(y)|\,dy = 0$ 对 $\operatorname{Cap}_{p,\Omega}$-准处处的 $x \in \partial\Omega$ 来表征 $W^{1,p}_0(\Omega)$。
• 借助潜在论中的已知结果，包括 Havin、Bagby、Hedberg 以及 Swanson–Ziemer 的工作，推导出 $W^{1,p}_0(\Omega)$ 的等价表征。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典的 $p$-容量扩展为一种相对版本，以捕捉一般开集 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ 边界上的迹行为？
• RQ2 相对 $p$-容量 $\operatorname{Cap}_{p,\Omega}$ 必须满足哪些性质，才能作为 Choquet 意义下的有效容量？
• RQ3 Sobolev 函数在 $\partial\Omega$ 上的迹在何种意义下是唯一的？$\operatorname{Cap}_{p,\Omega}$ 如何控制这种唯一性？
• RQ4 是否可以不假设 $u \in W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$，而仅通过相对容量来表征 $W^{1,p}_0(\Omega)$？
• RQ5 在 $\partial\Omega$ 附近平均 $L^1$-范数的消失与 $W^{1,p}_0(\Omega)$ 成员资格之间存在何种关系？

主要发现

• 相对 $p$-容量 $\operatorname{Cap}_{p,\Omega}$ 是 $\overline{\Omega}$ 上的赋范 Choquet 容量，当 $\Omega = \mathbb{R}^N$ 时，它推广了经典的 $p$-容量。
• 任意 $u \in W^{1,p}(\Omega)$ 在 $\partial\Omega$ 上的迹在 $\operatorname{Cap}_{p,\Omega}$-零极集意义下是唯一的，从而实现了在不规则区域上的迹理论。
• 函数 $u \in W^{1,p}(\Omega)$ 属于 $W^{1,p}_0(\Omega)$ 当且仅当对 $\operatorname{Cap}_{p,\Omega}$-准处处的 $x \in \partial\Omega$，有 $\lim_{r\to 0} r^{-N} \int_{B(x,r)\cap \Omega} |u(y)|\,dy = 0$。
• 即使 $u$ 不属于 $W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$，通过在 $\partial\Omega$ 附近平均 $L^1$-范数消失来表征 $W^{1,p}_0(\Omega)$ 的结果仍然成立，从而推广了早期结果。
• 证明依赖于通过截断和截断函数在 $W^{1,p}_0(\Omega)$ 中构造逼近序列，随后在自反 Banach 空间 $W^{1,p}_0(\Omega)$ 中使用弱收敛性论证。
• 相对容量框架使得即使 $\Omega$ 具有非正则或不规则边界，也能对迹和边界趋于零的行为进行统一处理。