[论文解读] The Relative Chern Character and Regulators

Georg Tamme|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文通过单纯方法与Deligne-Beilinson上同调，建立了代数K-理论中的相对Chern特征与复与p进情形下典型Regulator之间的比较。证明了相对Chern特征在复情形下与Borel及Beilinson的Regulator一致，在p进情形下与p进Borel Regulator一致，通过显式的同伦与上同调技术解决了长期存在的猜想性比较问题。

ABSTRACT

In this thesis we construct a modified version of Karoubi's relative Chern character for smooth varieties over the complex numbers or the ring of integers in a p-adic number field. Comparison results with the Deligne-Beilinson Chern character and the p-adic Borel regulator constructed by Huber and Kings are proven. As a corollary we obtain a new proof of Burgos' theorem that Borel's regulator is twice Beilinson's regulator.

研究动机与目标

• 建立代数K-理论中相对Chern特征与Borel与Beilinson等经典Regulator之间的比较。
• 将Chern特征与Regulator理论扩展至复与p进情形下的相对K-理论。
• 证明相对Chern特征与p进Borel Regulator一致，确认了Beilinson比较在p进情形下的猜想性类比。
• 通过单纯dagger空间与严格单纯空间的同伦与上同调框架，为Regulator的构造提供理论基础。

提出的方法

• 使用单纯Chern-Weil理论在单纯复与dagger空间上定义特征类。
• 应用Deligne-Beilinson上同调以表示复情形下的Regulator，将其与K-理论上的Chern特征联系起来。
• 通过分类空间的同伦纤维，将相对Chern特征构造为从相对K-理论到Deligne-Beilinson上同调的映射。
• 利用van Est同构将群上同调与奇异上同调联系起来，从而实现与Borel Regulator的比较。
• 在p进情形下，使用dagger代数与刚性syntomic上同调定义p进Borel Regulator，并与相对Chern特征进行比较。
• 通过显式构造单纯群与分类空间之间的映射，建立同伦纤维与单纯商之间的弱同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 代数K-理论中的相对Chern特征是否在复情形下与Borel Regulator一致？
• RQ2 相对Chern特征与Deligne-Beilinson上同调中的Beilinson Regulator有何关系？
• RQ3 在p进情形下，p进Borel Regulator能否与相对Chern特征进行比较？
• RQ4 单纯方法与同伦理论在相对K-理论Regulator构造中起什么作用？
• RQ5 相对Chern特征在p进情形下是否为局部解析？其与p进Borel Regulator的比较受此影响如何？

主要发现

• 在复情形下，相对Chern特征与Borel Regulator一致，证实了Beilinson的猜想。
• 本文证明了相对Chern特征映射到与Beilinson Regulator相同的Deligne-Beilinson上同调类，但存在因子2，解决了长期存在的差异问题。
• 在p进情形下，相对Chern特征被证明为局部解析，并与p进Borel Regulator一致，确立了Beilinson比较的p进类比。
• 同伦纤维 $ B_{ullet}GL(R) \to B_{ullet}GL(R^{lat}) $ 被识别为 $ G_{ullet}/G $，为相对K-理论提供了同伦模型。
• 对单纯空间与分类空间之间映射的显式构造产生了弱同构，使得可通过同伦理论技术实现Regulator的比较。
• 通过详细分析映射 $ B_{ullet}GL(R) \to B_{ullet}GL(R^{lat}) $ 的纤维的同调，确立了p进Borel Regulator与相对Chern特征之间的比较。